求柯西不等式的最巧妙的证明方法

不要用构造函数法、数归法、向量法。好象是用基本不等式，但我忘记了！（注意是证一般形式的哦）

设a1b1+a2b2+...+anbn=AB 欲证（a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2
即证[（a1^2+a2^2+...+an^2)/AB][(b1^2+b2^2+...+bn^2)/AB]>=1
由基本不等式得ai^2/AB+bi^2/AB>=aibi/AB
叠加易得原不等式成立

貌似是用判别式法最简单了： 设一个函数 f(x)=(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2-2（a1b1+a2b2+...+anbn）x+(b1^2+...+bn^2) 那么f(x)=(a1^2x^2-2a1b1x+b1^2)+...+(an^2x^2-2anbnx+bn^2) =(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2>=0 而f(x)是一个一元二次方程函数，那么方程f(x)=0的判别式△<=0 即（2（a1b1+a2b2+...+anbn））^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)<=0 化简后得：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+...+bn^2)>=（a1b1+a2b2+...+anbn）^2 即柯西不等式 等号条件△=0，(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2=0 x=b1/a1=b2/a2=...=bn/an 即an与bn互相成比例 这样就证明完毕了

用向量来证.   m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)   mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．   因为cosx小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2   这就证明了不等式．

两边相减，再抓对凑成完全平方式！因为多个平方的和是一定非负的！所以，就有>=号成立了... ...

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。 如：两列数 0，1 和 2，3 有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.