初二 希望杯 数学题

1.若实数a、b、c满足a²+b²+c²+4≤ab+3b+2c，则200a+900b+8c=（） 2.已知等腰△ABC的三边长满足方程x²-11x+30=0，在三角形ABC所载平面内找一点P，使得点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小，则这个最小值是（）或（）或（）或（）。 3.花乏羔何薏蛊割坍公开若方程组mx+2my=5，nx-2ny=7的解为x=a，y=b，则一次函数y=5/2m-1/2x-7/2n的图像的交点为（），mn=（）。 4.已知x²+x-6是多项式2x^4+x^3-ax²+bx+a+b-1的因式，则a=（），b=（） 5.已知ax²+bx+c是一个完全平方式(a,c,c是常数),则b²-4ac=（） 6.已知m，n是不相等的实数，方程x²+mx+n=0的两根差与方程y²+ny+m=0的两根差相等，则m+n=（） 7.The number of integer solutions for the system of inequalities x-2a＞0，6-3x≥0about x is just 4，then the range of value for real number a is （） A -4＜a≤-2 B -4≤a＜-2 C -1＜a≤-0.5 D 、1≤a＜-0.5 （integer solutions 整数解 ；system of inequalities 不等式组；the range of 取值范围） 拜托大家唠、 回答好的会追加分的 要有过程和解释呐、 真的很难啊

1解：由a²+b²+c²+4≤ab+3b+2c 得：
2(a²+b²+c²+4)-2(ab+3b+2c)=a²+b²+a²+b²+2c²+8-2ab-6b-4c
=a²-2ab+b²+a²-2a+1+2a-2b+(b²-4b+4)+2(c²-2c+1)+1
=(a-b)²+(a-1)²+2(a-b)+(b-2)²+2(c-1)²+1
=(a-b+1)²+(a-1)²+(b-2)²+2(c-1)²≤0
故a-b+1=a-1=b-2=c-1=0；解：a=1;b=2;c=1，则200a+900b+8c=2008
2解：满足要求的点为费马点；又方程x²-11x+30=0的解为：x1=5；x2=6；
等腰△ABC的三边长为：5、5、6；或5、6、6；或5、5、5；或6、6、6 。
(1)△ABC的三边长为5、5、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为4+3√3；
(2)△ABC的三边长为5、6、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为√199/2+5√3/2；
(3)△ABC的三边长为5、5、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为5√3；
(4)△ABC的三边长为6、6、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为6√3。
3解：m=5/(a+2b)；n=7/(a-2b)；y=5/(2m)-x/2=x/2-7/(2n) 解：x=a；y=b
即：交点为（a,b）,mn=35/(a²-4b²)
4解：2x^4+x^3-ax²+bx+a+b-1=2x²(x&sup花乏羔何薏蛊割坍公开2;+x-6)-x(x²+x-6)+(13-a)x²+(b-6)x+a+b-1
x²+x-6是2x^4+x^3-ax²+bx+a+b-1的因子，则x²+x-6也是(13-a)x²+(b-6)x+a+b-1的因子
则13-a=b-6=(a+b-1)/(-6)；解：a=16；b=3
5解：ax²+bx+c=[√ax+b/(2√a)]²+c-b²/(4a) 是一个完全平方式(a,b,c是常数),
则c-b²/(4a)=0，即b²-4ac=0
6解：设x1,x2方程x²+mx+n=0的两根；x3,x4是方程y²+ny+m=0的两根。
则：x1+x2=-m,x1x2=n；则(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=m²-4n；
x3+x4=-n,x3x4=m；则(x3-x4)²=(x3+x4)²-4x3x4=n²-4m；
由方程x²+mx+n=0的两根差与方程y²+ny+m=0的两根差相等
知：(x1-x2)²=(x3-x4)²=m²-4n=n²-4m 整理得：(m+n)(m-n)=-4(m-n)
又m，n是不相等的实数,则m-n≠0；故m+n=-4
7解：∵x-2a＞0；且6-3x≥0 ；∴2a<x≤2，又x有四个整数解；
则四个解为2,1,0,-1；那么-2≤2a<-1 解之：-1≤a<-0.5
答案：D
注：
费马点的判定
（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

最小的时候  是与a点相交，此时可以求出k=1 然后求出bc所在的直线方程：  y=（-3/4）x+19/4

y=k/x代入直线方程3x＾2-19x+4k=0 求 △=b^2-4ac    与三角形有交点   即 △≥0 求出k的范围   k≤361/48 即   k最大取361/48