求解泛函分析中距离空间的两道题第十题的第二小问和第十一题

求解泛函分析中距离空间的两道题第十题的第二小问和第十一题

10.
(a)由ρ是距离
i.显然ρ~≥0，并且ρ~(x,y)=0当且仅当ρ(x,y)=0当且仅当x=y
ii.显然ρ~(x,y)=ρ~(y,x)
iii.ρ~(x,y)=ρ(x,y)/[1+ρ(x,y)],ρ~(x,z)=ρ(x,z)/[1+ρ(x,z)],ρ~(y,z)=ρ(y,z)/[1+ρ(y,z)]
ρ~(x,y)≤ρ~(x,z)+ρ~(y,z)
等价于ρ(x,y)/[1+ρ(x,y)]≤ρ(x,z)/[1+ρ(x,z)]+ρ(y,z)/[1+ρ(y,z)]
等价于ρ(x,y)[1+ρ(x,z)][1+ρ(y,z)]≤ρ(x,z)[1+ρ(x,y)][1+ρ(y,z)]+ρ(y,z)[1+ρ(x,y)][1+ρ(x,z)]
等价于ρ(x,y)+ρ(x,y)ρ(x,z)+ρ(x,y)ρ(y,z)+ρ(x,y)ρ(x,z)ρ(y,z) ≤ρ(x,z)+ρ(x,y)ρ(x,z)+ρ(y,z)ρ(x,z)
+ρ(x,y)ρ(x,z)ρ(y,z)+ρ(y,z)+ρ(x,y)ρ(y,z)+ρ(x,z)ρ(y,z)+ρ(x,y)ρ(x,z)ρ(y,z)
等价于ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z)+ρ(y,z)ρ(x,z)+ρ(x,z)ρ(y,z)+ρ(x,y)ρ(x,z)ρ(y,z)
由于ρ是距离，ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z)，ρ(y,z)ρ(x,z)≥0，ρ(x,z)ρ(y,z)≥0，ρ(x,y)ρ(x,z)ρ(y,z)≥0
所以最后一式成立，所以ρ~(x,y)≤ρ~(x,z)+ρ~(y,z)成立
故ρ~是·距离。
(b)设Tx=x是(X,ρ)到(X,ρ~)的恒等映射，现证明T是同胚映射
(i)T是一一映射：Tx=Ty→x=y，T是单射，对于任意x属于(X,ρ)，x是它在T下，(X,ρ~)中的原像，故T是满射，所以T是一一映射。因此T的逆映射T^(-1)存在，且T^(-1)x=x是(X,ρ~)到(X,ρ)的映射
(ii)T是连续映射：对于任意x属于(X,ρ)和ε>0，存在δ=min{1,ε/(1-ε)}，当ρ(x,y)<δ时，
ρ~(Tx,Ty)=ρ~(x,y)=ρ(x,y)/[1+ρ(x,y)]<ε，所以f(x)是(X,ρ)到(X,ρ~)的连续映射
(iii)T^(-1)是连续映射：对于任意x属于(X,ρ~)和ε>0，存在δ=ε/(1+ε)，当ρ~(x,y)<δ时，
ρ(T^(-1)x,T^(-1)y)=ρ(x,y)=ρ~(x,y)/[1-ρ~(x,y)]<ε，所以T^(-1)是(X,ρ~)到(X,ρ)的连续映射
因此T是同胚映射，所以(X,ρ)和(X,ρ~)同胚。
11.设ρ(x,y)是X上的距离
(a)f(x)连续，对于任意x属于X和ε>0,存在δ，当ρ(x,y)<δ时，|f(x)-f(y)|<ε
对于任意x属于{x|f(x)>a},令ε=f(x)-a>0，由f连续的假设，存在δ，使任意y属于x的δ-邻域都满足
|f(x)-f(y)|<ε，因此，对这样的y有：若f(y)≥f(x),则显然f(y)>a,若f(y)即f(y)>f(x)-ε=f(x)-f(x)+a=a，所以存在x的δ邻域含于{x|f(x)>a}，故{x|f(x)>a}是开集
类似地，对于任意x属于{x|f(x)>a},令ε=a-f(x)>0，由f连续的假设，存在δ，使任意y属于x的δ-邻域都满足|f(x)-f(y)|<ε，因此，对这样的y有：若f(y)≤f(x),则显然f(y)f(x),则f(y)-f(x)<ε
f(y)a}和{x|f(x)0,集合{y|f(y){y|f(y)>f(x)-ε}都是开集，又f(x)-εf(x)-ε}，故存在
x的δ‘邻域U(x,δ’)和δ‘’邻域U(x,δ’‘)分别含于{y|f(y)f(x)-ε}，取δ=min{δ’，δ‘’}
当ρ(x,y)<δ时，y属于U(x,δ’)且y属于U(x,δ’‘)，因此f(x)-ε(b)若{x|f(x)a}是开集，由于{x|f(x)≥a}和{x|f(x)≤a}分别是{x|f(x)a}在X上的余集(补集)，故{x|f(x)≥a}和{x|f(x)≤a}是闭集，因此f连续的充要条件是{x|f(x)≥a}和{x|f(x)≤a}均为闭集