实对称矩阵A满足A^2-5A+6E=0，求证：A正定
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解决时间 2021-07-19 23:16
- 提问者网友：星軌
- 2021-07-19 04:26
实对称矩阵A满足A^2-5A+6E=0，求证：A正定
最佳答案
- 五星知识达人网友：逃夭
- 2021-07-19 04:49
∵A为实对称矩阵
∴A'=A
∵A²-5A+6E=0
∴5A=A²+6E
设任意向量x≠0
∴x'(5A)x=x'(A²+6E)x=x'(A²)x+x'(6E)x=x'A'Ax+x'(6E×E)x=(Ac)'(Ax)+6(Ex)'(Ex)
∵向量(Ax)'·向量(Ax)≥0，向量(Ex)'·向量(Ex)＞0
∴x'(5A)x＞0
∴5A正定
即A正定
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