椭圆x^2/m+1+y^2=1的两个焦点为F1(-c,0)F2(c,0)且椭圆上存在点M使向量MF1*MF2=0

椭圆x^2/m+1+y^2=1的两个焦点为F1(-c,0)F2(c,0)且椭圆上存在点M使向量MF1*MF2=0
求实数m的取值范围

根据题意知道,所求即椭圆上点与两个焦点构成的角中存在直角
只要满足短轴端点与两个焦点构成的角大于90°即可
（这个角是所有又焦点与椭圆上点构成角中最大的一个,所有角的范围都在0和这个角之间）
先确定a²=m+1,b²=1,c²=m
在这个三角形中,假想那个角是直角或钝角,那么根据余弦定理,可以有两边平方和小于第三边平方和
a²+a²≤(2c)²=4c²
2m+2≤4m m≥1
所以m≥1时,满足题意
下面给出常规解法
设M点坐标是(X0,Y0),那么MF1=(-c-X0,-Y0),MF2=(c-X0,-Y0)
MF1*MF2=0
X0²-c²+Y0²=0
而M在椭圆上,所以有
X0²/(m+1)+Y0²=1
X0²-c²+1-X0²/(m+1)=0
mX0²/(m+1)=c²-1
又因为是椭圆a²=b²+c²
c²=a²-b²=m+1-1=m
mX0²=m²-1
要使上式有解,那么X0²=(m²-1)/m,(m=0不成立）
m²-1≥0且m≥0
解得m≥1