数学建模之差分方程方法建模

问题：一．如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物．试建立种群依存模型，并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。

二、一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物。又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存，在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点。

种群相互依存问题

1
问题的提出

一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，
又长着茂盛的植物。
爬行动物
以哺乳动物为食物，
哺乳动物又依赖植物生存。
在适当假设下建立三者关系的模
型，求其平衡点。

2
模型的假设

假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长作用。

3
符号的约定

t
：时间；

)
(
1
t
x
：表示植物在时刻
t
的数量；

)
(
2
t
x
：表示哺乳动物在时刻
t
的数量；

)
(
3
t
x
：表示食肉爬行动物在时刻
t
的数量；

1
r
：表示植物的固有增长率；

1

：反映了哺乳动物消耗植物的能力；

2
r
：哺乳动物的死亡率；

2

：反映了植物对哺乳动物的供养能力；


：反映了食肉爬行动物掠取哺乳动物的能力；

3
r
：表示食肉爬行动物的死亡率；

3

：反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。

4
模型的建立与求解

4.1 Volterra
基本模型的建立

设
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
分别表示植物、
哺乳动物和食肉爬行动物在时刻
t
的数量。
1
r
为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小的程度
与捕食者数量成正比，于是植物数量的模型满足

)
(
)
(
2
1
1
1
1
x
r
x
dt
t
dx




(1)
比例系数
1

反映了哺乳动物消耗植物的能力。

哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为
2
r
，则哺乳动物独自存在时有

2
2
2
)
(
x
r
dt
t
dx



(2)
而植物的存在可以为哺乳动物提供食物，
但是食肉爬行动物的存在使哺乳动物数
量减少，
设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比，
于是哺乳动物数量模型满足

)
(
)
(
3
1
2
2
2
2
x
x
r
x
dt
t
dx







(3)
其中比例系数
2

反映了植物对哺乳动物的供养能力，

反映了食肉爬行动物掠
取哺乳动物的能力。

食肉爬行动物离开动物无法生存，
设其死亡率为
3
r
，
则食肉爬行动物独自存

在时有

3
3
3
)
(
x
r
dt
t
dx



(4)
而哺乳动物的存在可以为食肉爬行动物提供食物，于是
(4)
式右端应加上哺乳动
物对食肉爬行动物的增长作用，设为
3

，于是有

)
(
)
(
2
3
3
3
3
x
r
x
dt
t
dx





(5)
比例系数
3

反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。

综上所述，建立如下微分方程组模型



















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
3
3
3
3
3
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
x
r
x
dt
t
dx
x
x
r
x
dt
t
dx
x
r
x
dt
t
dx





(6)
4.2 Volterra
基本模型的求解

4.2.1
数值解

记植物、哺乳动物和食肉爬行动物的初始数量分别为

30
3
20
2
10
1
)
0
(
,
)
0
(
,
)
0
(
x
x
x
x
x
x




(7)
为求微分方程组及初始条件
(7)
的解，设，利用
MATLAB
软件求其数值解，可得
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
的图像及相轨线。见图
1
。

图
1
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
关系图及相轨线图

从图
1
中可以看出，
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
是周期函数，相轨线是封闭曲线，
从数值解近似定出周期为
6.25
，
用数值积分可以算出
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
在一个
周期的平均值
11
,
13
,
71
3
2
1



x
x
x
。

4.2.2
平衡点

这是一个非线性模型，
不能求其解析解。
所以通过平衡点的稳定性分析，
研

究
)
(
),
(
),
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
的变化规律，求得微分方程组的平衡点为

)
0
,
,
(
),
0
,
0
,
0
(
1
1
2
2
2
1


r
r
P
P

当然，平衡解
)
0
,
0
,
0
(
1
P
对我们来说是没有意义的。尽管该模型可以解释一些
现象，但是多数生态系统观察不到
Volterra
基本模型显示的那种周期震荡，而
是趋向某种平衡状态，
即系统存在稳定平衡点。
一些生态学家认为，
自然界里长
期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，
即系统受到不可避免的
干扰而偏离原来的周期轨道后，
其内部制约作用会使系统自动回复原状，
如恢复
原有的周期和振幅。

程序

function
f=fun1(t,x);

r1=1;r2=0.5;r3=0.6;

a1=0.1;a2=0.02;a3=0.06;b=0.1;

f=[x(1)*(r1-a1*x(2));x(2)*(-r2+a2*x(1)-b*x(3));x(3)*(-r3+a3*x(2))];

clc,clear

ts=0:0.1:20;

x0=[100,40,6];

[t,x]=ode45(
'fun1'
,ts,x0);

subplot(1,2,1)

plot(t,x(:,1),
'r-'
,t,x(:,2),t,x(:,3));

grid,gtext(
'x1(t)'
),gtext(
'x2(t)'
),gtext(
'x3(t)'
);

grid

subplot(1,2,2)

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

grid

不会~ 这么麻烦谁会啊？ 反正16年前是一小群，16年后是一大群！