大一高数：证明lim(1+1/n+1/n^2)^n=e
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解决时间 2021-03-20 08:01
- 提问者网友：爱唱彩虹
- 2021-03-19 19:25
大一高数：证明lim(1+1/n+1/n^2)^n=e
最佳答案
- 五星知识达人网友：低音帝王
- 2021-03-19 20:52
lim(1+1/n+1/n^2)^n=lim(1+（n+1）/n^2)^n
lim(1+（n+1）/n^2)^（n^2/（n+1））=e
=lim(1+（n+1）/n^2)^（（n^2-1+1）/（n+1））
因为lim(1+（n+1）/n^2)^（1/（n+1））=1
所以原式=lim(1+（n+1）/n^2)^（n-1）乘以lim(1+（n+1）/n^2)^（1/（n+1））
所以lim(1+（n+1）/n^2)^（n-1）=e
所以lim(1+1/n+1/n^2)^（n-1）=e
所以lim(1+1/n+1/n^2)^n=e
lim(1+（n+1）/n^2)^（n^2/（n+1））=e
=lim(1+（n+1）/n^2)^（（n^2-1+1）/（n+1））
因为lim(1+（n+1）/n^2)^（1/（n+1））=1
所以原式=lim(1+（n+1）/n^2)^（n-1）乘以lim(1+（n+1）/n^2)^（1/（n+1））
所以lim(1+（n+1）/n^2)^（n-1）=e
所以lim(1+1/n+1/n^2)^（n-1）=e
所以lim(1+1/n+1/n^2)^n=e
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