椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的左右焦点F1、F2 ，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点。

若函数y=√2 + logmX（m＞0且m≠1）的图像，无论m为何值恒过定点（b,a），求向量F2B乘以向量F2A的取值范围

易求得该定点为﹙1，√2﹚

故a=√2,b=1   则F2（1,0﹚

  L斜率不为0时，设其方程为x=my+1设A（my1+1,y1)  B(my2+1,y2)

L带入椭圆表达式得（m²+2)y²+2my-1=0①

向量F2B=(my2,y2)   向量F2A=(my1,y1)

则向量F2B乘以向量F2A=m²y1·y2+y1·y2=﹙m²+1﹚y1·y2

①由伟达定理得y1·y2=-1/（m²+2)

则向量F2B乘以向量F2A=-﹙m²+1﹚/（m²+2)=-1+1/﹙m²+2)∈﹙-1,-1/2]

当L斜率为0时，易求得向量F2B乘以向量F2A=-1

综上所述向量F2B乘以向量F2A范围是[-1,-1/2]

如图：设点P到F1，F2的距离为m,n,根据椭圆的定义，m+n=2a=4,c²=a²-b²=2，c=√2,由题意得，(1).m²+n²=（2c)²=8，m+n=4,解得m=n=2,又OF1=c=√2,所以点P到X轴的距离为√2.(2).m²-n²=（2c)²=8，m+n=4,解得m=3,n=1.所以点P到X轴的距离为1.A：9/5 B：3 C：9根号7/7 D：9/4都不符合题意。

由对数函数性质知，b=1，a=√2， x²/2+y²=1为原椭圆方程

F1坐标为（-1,0），F2坐标为（1,0），直线l方程可设为：y=kx+k

带入椭圆方程得：(k²+1/2)x²+2k²x+k²-1=0，由韦达定理知：x1x2=(k²-1)/k²+1/2，x1+x2=-2k²/k²+1/2

向量F2B=(x2-1，kx2+k)，向量F2A=（x1-1，kx1+k)，二者相乘得：（k²+1)x1x2+(k²-1)(x1+x2)+k²+1

代入，得：7/2-9/(4k²+2)，因为k可取任何数，则取值范围为(-1，7/2)，其实为开区间，我打不出符号