(sinx)^n的最小正周期是什么？(cosx)^n呢？

(sinx)^n的最小正周期是什么？(cosx)^n呢？

(sinx)^n 和sinx 有相同的周期，所以其最小正周期也是 2π，(cosx)^n 也一样。

应该是2π/n

------------------------------------ 解：设 f(x)=[sin(x)]^n+[cos(x)]^n, n∈n+. (1)当 n=2k-1, k∈n+ 时, f(x+2π)=f(x). 所以 2π 是 f(x) 的一个周期. 令 f(x)=0, 解得 x=3π/4+kπ, k∈n+. i)当 t1∈(0,2π)且 t1≠π时, 取 x1=3π/4-t1. 则 f(x1)≠0, f(x1+t1)=0. 所以 t1 不是f(x) 的周期. ii)当 t2=π 时, 取 x2=0. 则 f(x2)=1, f(x2+t2)= -1. 所以 t2 不是f(x)的周期. 综上, 当 n=2k-1, k∈n+ 时, f(x)的最小正周期是 2π. (2)当n=2时, f(x)=1, x∈r. 此时, 任意非零实数都是f(x)的周期，f(x)没有最小正周期. (3)当n=2k+2, k∈n+时, f(x+π/2)=f(x). 所以 π/2是f(x)的一个周期. 当t3∈(0,π/2)时, 取 x3=π/2-t3. 则 sin(x3),cos(x3)∈(0,1). 所以 [sin(x3)]^(2k+2)<[sin(x3)]^2, [cos(x3)]^(2k+2)<[cos(x3)]^2. 所以 f(x3)<1. 又因为 f(x3+t3)=1, 所以 t3 不是f(x)的周期. 综上, 当n=2k+2, k∈n+时, f(x)的最小正周期是 π/2. 综上, 当n是奇数时, f(x)的最小正周期是2π； 当n=2时, f(x)的周期是任意非零实数； 当n是大于2的偶数时, f(x)的最小正周期是 π/2.