已知二次函数，若对X1，X2属于R，且x1<x2，F（x1）≠F（x2），方

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解决时间 2021-03-18 07:22

提问者网友：杀生予夺
2021-03-17 07:11

已知二次函数，若对X1，X2属于R，且x1<x2，F（x1）≠F（x2），方程F（X）＝1/2〔f（X1）+f（X2）〕有两不等实根，证明必有一实根属于（X1，X2）

最佳答案

五星知识达人网友：逐風
2021-03-17 07:24

证明：
∵f(x1)≠f(x2)
∴可以不妨假设f(x1)＜f(x2)

令m=[f(x1)+f(x2)]/2
构造函数g(x)=f(x)-m.
g(x1)=f(x1)-m=[f(x1)-f(x2)]/2＜0
g(x2)=f(x2)-m=[f(x2)-f(x1)]/2＞0

由此可知，在区间[x1, x2]上，
g(x1)＜0且g(x2)＞0
∴由“零点存在定理”可知，
必存在实数ξ∈(x1, x2).
满足：g(ξ)=0 即满足：f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2

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1楼网友：不甚了了
2021-03-17 08:37

证明：
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)＜f(x2).
另设f(x1)=a1,f(x2)=a2,a=(a1+a2)/2.
易知，a1＜a＜a2.
构造函数g(x)=f(x)-a. (x1＜x＜x2)
g(x1)=f(x1)-a=a1-a＜0.
g(x2)=f(x2)-a=a2-a＞0.
∴由“零点存在定理”可知，
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-a=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在（x1,x2)内必有一实数根。

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