怎样用向量来表示三角形重心、垂心、内心、外心？

这是我整理的一些内容，希望对你有所帮助：

【一些结论】：以下皆是向量
1 若p是△abc的重心 pa+pb+pc=0
2 若p是△abc的垂心 pa•pb=pb•pc=pa•pc(内积）
3 若p是△abc的内心 apa+bpb+cpc=0(abc是三边）
4 若p是△abc的外心 |pa|²=|pb|²=|pc|²
（ap就表示ap向量 |ap|就是它的模）
5 ap=λ（ab/|ab|+ac/|ac|),λ∈[0,+∞) 则直线ap经过△abc内心
6 ap=λ（ab/|ab|cosb+ac/|ac|cosc),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 ap=λ（ab/|ab|sinb+ac/|ac|sinc),λ∈[0,+∞）
 或 ap=λ(ab+ac),λ∈[0,+ ∞) 经过重心 
8.若aoa=bob+coc,则0为∠a的旁心,∠a及∠b,c的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】
1.
o是三角形内心的充要条件是aoa向量+bob向量+coc向量=0向量
充分性：
已知aoa向量+bob向量+coc向量=0向量，
延长co交ab于d，根据向量加法得：
oa=od+da,ob=od+db,代入已知得：
a(od+da)+b(od+db) +coc=0,
因为od与oc共线，所以可设od=koc,
上式可化为(ka+kb+c) oc+( ada+bdb)=0向量,
向量da与db共线，向量oc与向量da、db不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，ada+bdb=0向量,
由ada+bdb=0向量可知：da与db的长度之比为b/a,
所以cd为∠acb的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：
已知o是三角形内心,
设bo与ac相交于e，co与ab相交于f，
∵o是内心
∴b/a=af/bf，c/a=ae/ce
过a作co的平行线，与bo的延长线相交于n，过a作bo的平行线，与co的延长线相交于m，
所以四边形oman是平行四边形
根据平行四边形法则，得
向量oa
=向量om+向量on
=(om/co)*向量co+(on/bo)*向量bo
=(ae/ce)*向量co+(af/bf)*向量bo
=(c/a)*向量co+(b/a)*向量bo∴a*向量oa=b*向量bo+c*向量co
∴a*向量oa+b*向量ob+c*向量oc=向量0

2.
已知△abc 为斜三角形,且o是△abc所在平面上的一个定点,动点p满足向量op=oa+入{(ab/|ab|＾2*sin2b)+ac/(|ac|＾2*sin2c)},
求p点轨迹过三角形的垂心

op=oa+入{(ab/|ab|＾2*sin2b)+ac/(|ac|＾2*sin2c)},
op-oa=入{(ab/|ab|＾2*sin2b)+ac/(|ac|＾2*sin2c)},
ap=入{(ab /|ab|＾2*sin2b)+ac /(|ac|＾2*sin2c)},
ap•bc=入{(ab•bc /|ab|＾2*sin2b)+ac•bc /(|ac|＾2*sin2c)},
ap•bc=入{|ab|•|bc|cos(180° -b) / (|ab|＾2*sin2b) +|ac|•|bc| cosc/(|ac|＾2*sin2c)},
ap•bc=入{-|ab|•|bc| cos b/ (|ab|＾2*2sinb cos b) +|ac|•|bc| cosc/(|ac|＾2*2sinc cosc)},
ap•bc=入{-|bc|/ (|ab|*2sinb ) +|bc|/(|ac|*2sinc )},
根据正弦定理得：|ab|/sinc=|ac|/ sinb,所以|ab|*sinb=|ac|*sinc
∴-|bc|/ (|ab|*2sinb ) +|bc|/(|ac|*2sinc )=0，
即ap•bc=0，
p点轨迹过三角形的垂心

3.
op=oa+λ(ab/(|ab|sinb)+ac/(|ac|sinc)) 

op-oa=λ(ab/(|ab|sinb)+ac/(|ac|sinc))
ap=λ(ab/(|ab|sinb)+ac/(|ac|sinc))
ap与ab/|ab|sinb+ac/|ac|sinc共线
根据正弦定理：|ab|/sinc=|ac|/sinb,
所以|ab|sinb=|ac|sinc,
所以ap与ab+ac共线
ab+ac过bc中点d，所以p点的轨迹也过中点d，
∴点p过三角形重心。

4.
op=oa+λ(abcosc/|ab|+accosb/|ac|)

op=oa+λ(abcosc/|ab|+accosb/|ac|)
ap=λ(abcosc/|ab|+accosb/|ac|)
ap•bc=λ(ab•bc cosc/|ab|+ac•bc cosb/|ac|)
=λ([|ab|•|bc|cos(180° -b)cosc/|ab|+|ac|•|bc| cosc cosb/|ac|]
=λ[-|bc|cosbcosc+|bc| cosc cosb]
=0，
所以向量ap与向量bc垂直，
p点的轨迹过垂心。

5.
op=oa+λ(ab/|ab|+ac/|ac|) 

op=oa+λ(ab/|ab|+ac/|ac|) 
op-oa =λ(ab/|ab|+ac/|ac|)
ap=λ(ab/|ab|+ac/|ac|)
ab/|ab|、ac/|ac|各为ab、ac方向上的单位长度向量，
向量ab与ac的单位向量的和向量，
因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，
向量ab与ac的单位向量的和向量为菱形对角线，
易知是角平分线，所以p点的轨迹经过内心。

三角形重心表达式: 向量oa+向量ob+向量oc=零向量
证明：设ad为三角形abc中bc边的中线，o为三角形的重心 
 延长od到e,使od=de,连结be,ce
 且有bd=dc,所以四边形boce为平行四边形
 所以向量ob+向量oc=向量oe
 o为重心，将ad分为2：1两部分，即ao=2od=oe
 综上向量oa=-向量oe=-（向量ob+向量oc）
 即：向量oa+向量ob+向量oc=0
 所以o是三角形的重心

o是三角形的垂心: 向量oa的平方+向量bc的平方=向量ob的平方+向量ca的平方=向量oc的平方+向量ab的平方
证明：向量oa平方+向量bc平方=向量ob平方+向量ca平方
即向量oa平方-向量ob平方=向量ca平方-向量bc平方
即（向量oa-向量ob）（向量oa+向量ob）=（向量ca-向量bc）（向量ca+向量bc）
即向量ba•（向量oa+向量ob）=（向量ca-向量bc）•向量ba
即向量ba•（向量oa-向量ca+向量ob+向量bc）=0
即2向量ba•向量oc=0
∴oc⊥ab
同理可证oa⊥cb，ob⊥ac。
所以o是三角形的垂心.