根与系数的关系

　　对于一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 总有 x₁+x₂=- ，x₁·x₂= ，其中x₁、x₂是方程的两根。
　　它的逆定理也是成立的，即如果两个数x₁和x₂，满足x₁+x₂=- ，x₁·x₂= ，那么x₁, x₂是方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理.

　二、例题分析

　　1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值

　　例1、已知方程x²-6x+m²-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值
　　分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.
　　解法一：把x=2代入原方程，得
　　2²-6×2+m²-2m+5=0
　　即　m²-2m-3=0
　　解得m₁=3　 m₂=-1
　　当m₁=3　 m₂=-1时，原方程都化为
　　x²-6x+8=0
　　∴x₁=2　 x₂=4
　　∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.

　　解法二：设方程的另一个根为x.
　　则
　　∴ 或　　

　　2、判别一元二次方程两根的符号.

　　例1、不解方程，判别2x²+3x-7=0两根的符号
　　分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x₁·x₂ 或 x₁₊ x₂的正负情况.
　　解：∵△=3²-4×2×(-7)=65>0
　　∴方程有两个不相等的实数根　 设方程的两个根为x₁, x₂，
　　∵x₁·x₂= =- <0
　　∴原方程有两个异号的实数根。

　　说明：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x₁·x₂﹤0，可判定根为一正一负，
　　若x₁·x₂>0，仍需考虑x₁₊ x₂的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.

　　例2、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx²-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数。
　　分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零。
　　解：设方程的二根为x₁, x₂，且x₁>0, x₂>0，

　　则有
　　由 △=[-2(m+1)]²-4m(m-1)≥0　　　　 解得：m≥-
　　∵m≠0,　 ∴m>0或m<0，
　　∴上面不等式组化为：

　　⑴ 或　 ⑵

　　由⑴得　m>1　　　　　
　　⑵不等式组的解集为空集.∴m>1　
　　∴当m>1时，方程的两个根都是正数。

　　说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件。

　　例3、k为何值时，方程2(k+1)x²+4kx+3k-2=0
　　（1）两根互为相反数
　　（2）两根互为倒数
　　（3）有一根为零，另一根不为零。

　　分析：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x₁=-x_2,即x₁+x₂=0;互为倒数，则x₁= ，即x_1·x₂=1，但要注意考察判别式△≥0.

　　解：设方程的两根为x₁, x₂，
　　则x₁+x₂=- =-
　　x₁x₂=

　　（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，
　　即x₁+x₂=- =0，∴k=0，
　　当k=0时，△=(4k)²-4×2(k+1)(3k-2)=16>0
　　∴当k=0时，方程两根互为相反数。

　　（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即
　　x₁x₂= =1，解得k=4
　　当k=4时，△=(4k)²-4×2(k+1)(3k-2)=-144<0
　　∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根。

　　（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，
　　即x₁x₂= =0，解得k=
　　又当k= 时，x₁+x₂=- ≠0，
　　当k= 时，△=(4k)²-4×2(k+1)(3k-2)= >0，
　　∴k= 时，原方程有一根是零，另一根不是零。

　　说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b²-4ac不得小于零。

　　3、根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.

　　例1、关于x的一元二次方程x²-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围。
　　解：设方程两根分别为x₁, x₂，
　　x₁+x₂=3,　x₁·x₂=k+1
　　∵x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=3²-2(k+1)<5
　　∴k>1　　　　 ①
　　又∵△=(-3)²-4(k+1)≥0
　　∴k≤ 　　　　②
　　由①②得：1<k≤

　　说明：例1是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.

　　例2、知：方程x²+2(m-2)x+m²+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。
　　分析：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程,就可求得m的值.
　　解：∵方程有两个实数根，
　　∴△=[2(m-2)]²-4×1×(m²+4)≥0
　　解这个不等式，得m≤0
　　设方程两根为x₁, x₂，
　　∴x₁+x₂=-2(m-2)　　　 x₁·x₂=m²+4
　　∵x₁²+x₂²-x₁x₂=21
　　∴(x₁+x₂)²-3x₁x₂=21
　　∴[-2(m-2)]²-3(m²+4)=21
　　整理得：m²-16m-17=0
　　解得：m₁=17　　 m₂=-1
　　又∵m≤0　　 ∴m=-1

　　说明：1、求出m₁=17, m₂=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17。

　　三、小结 ：一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位，是中考的重点，学习时要引起足够重视.