已知a+b+c=0,a三次方+b三次方+c三次方=0,求证a五次方+b五次方+c五次方=0
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解决时间 2021-11-26 23:53
- 提问者网友：不爱我么
- 2021-11-26 17:39
已知a+b+c=0,a三次方+b三次方+c三次方=0,求证a五次方+b五次方+c五次方=0
最佳答案
- 五星知识达人网友：英雄的欲望
- 2021-11-26 17:58
首先可验证恒等式a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
代入a+b+c = a^3+b^3+c^3 = 0得abc = 0.
于是a^5+b^5+c^5 = (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab^4+ac^4+ba^4+bc^4+ca^4+cb^4)
= (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)
= 0.
代入a+b+c = a^3+b^3+c^3 = 0得abc = 0.
于是a^5+b^5+c^5 = (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab^4+ac^4+ba^4+bc^4+ca^4+cb^4)
= (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)
= 0.
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