f(x)于(0，1)可导且存在α∈(0，1)使得x^αf'(x)有界，证明
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解决时间 2021-01-26 22:30
- 提问者网友：不爱我么
- 2021-01-26 09:30
f(x)于(0，1)可导且存在α∈(0，1)使得x^αf'(x)有界，证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：想偏头吻你
- 2021-01-26 10:40
因为f（x）在[0，1]上连续，所以|f（x）|在[0，1]上连续，
由有界闭区间上连续函数的性质，存在c∈[0，1]，使得
|f（c）|=M=
max
0≤x≤1
|f(x)|．
由微分中值定理得
M=|f（c）|=|f（c）-f（0）|=|f′（ξ）|c，其中ξ介于0与c之间．
又由|f′（c）|≤q|f（x）|得
M=|f′（ξ）|c≤|f′（ξ）|≤q|f（ξ）|≤qM，
因为q∈（0，1）且M≥0，所以M=0，故f（x）≡0．
由有界闭区间上连续函数的性质，存在c∈[0，1]，使得
|f（c）|=M=
max
0≤x≤1
|f(x)|．
由微分中值定理得
M=|f（c）|=|f（c）-f（0）|=|f′（ξ）|c，其中ξ介于0与c之间．
又由|f′（c）|≤q|f（x）|得
M=|f′（ξ）|c≤|f′（ξ）|≤q|f（ξ）|≤qM，
因为q∈（0，1）且M≥0，所以M=0，故f（x）≡0．
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