已知函数f（x）=3x/（2x+3），数列{an}满足a1=1，a（n+1）=f（an），n∈N*
答案:1 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-12-27 23:18
- 提问者网友：你挡着我发光了
- 2021-12-27 19:57
（1）求证：数列{1/an}是等差数列（2）令bn=a（n-1）*an（n≥2），Sn=b1+b2+……+bn，若Sn<（m-2002）/2对一切n∈N*成立，求最小正整数m.
最佳答案
- 五星知识达人网友：十鸦
- 2021-12-27 21:12
1/a(n+1)-1/an=(2an+3)/3an-1/an=2/3+1/an-1/an=2/3 所以1/an是等差数列
1/an=(n-1)*2/3+1/a1=(2n+1)/3 所以an=3/(2n+1)
bn=a(n-1)*an=3/(2n-1)*3/(2n+1)=9/[(2n-1)(2n+1)]=9*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
Sn=9/2*[1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-.....+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=9/2*[1-1/(2n+1)]
=9/2-9/[2(2n+1)]<9/2
要Sn<(m-2002)/2只需要(m-2002)/2≥9/2 所以m≥2011，最小的正整数m是2011
1/an=(n-1)*2/3+1/a1=(2n+1)/3 所以an=3/(2n+1)
bn=a(n-1)*an=3/(2n-1)*3/(2n+1)=9/[(2n-1)(2n+1)]=9*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
Sn=9/2*[1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-.....+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=9/2*[1-1/(2n+1)]
=9/2-9/[2(2n+1)]<9/2
要Sn<(m-2002)/2只需要(m-2002)/2≥9/2 所以m≥2011，最小的正整数m是2011
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