数学问题:若对一切实数x,不等式

1,若对一切实数x,不等式(x^4+2x^2+4)/m(x^2+2)≥ 1均成立,求m的取值范围 答案:01) (2)是否存在正常数b,使a在(1,+∞)上变化时,y=logbM(a)的最大值是-4/3 答案:存在b=√3/9 最好解析一下

1,若对一切实数x,不等式(x^4+2x^2+4)/m(x^2+2)≥ 1均成立,求m的取值范围
x^4+2x^2+4=(x^2+1)^2+3>0,x^2+2>0
所以首先确认m>0
(x^4+2x^2+4)/m(x^2+2)≥ 1
(x^2+1)^2+3≥m(x^2+1)+m
(x^2+1)^2-m(x^2+1)+3-m≥0 ,配方
(x^2+1 -m/2)^2 -(m^2)/4 +3-m≥0
对一切实数x,不等式成立
则-(m^2)/4 +3-m≥0
m^2+4m-12≤0
(m+2)^2≤16
-6≤m≤2
综上所述 0<m≤2

2,实数x,y满足(x-1)^2/9+(y+1)^2/16=1,若x+y-k≥0,求实数k的最大值
设x-1=a,y+1=b,
则a+b=x-1+y+1=x+y,
可设a+b=x+y=m
则b=m-a
a^2 /9 +b^2 /16 =1
16a^2 +9(m-a)^2=16*9
25a^2-18ma+9m^2-16*9=0
关于a的方程
△=(18m)^2-100(9m^2-16*9)≥0
-5≤m≤5
因为x+y-k≥0
所以k≤x+y=m
所以实数k的最大值为-5

3,实数x,y满足x^2+xy+y^2=3,试求(x-1)y-x的取值范围
x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=3
设(x-1)y-x=xy-(x+y)=k
则xy=k+(x+y),代入得
(x+y)^2-(x+y)-k-3=0,配方
(x+y-1/2)^2 -1/4 -k-3=0
k=(x+y- 1/2)^2 -13/4
另设x+y=m,则y=m-x
则m^2-(m-x)x=3
x^2-mx+m^2-3=0
关于x的方程
△=m^2-4(m^2-3)≥0
-2≤m≤2
即x+y的取值范围为[-2,2]
则k的取值范围为[-13/4,3]
当x+y=1/2时,取到最小值-13/4
当x+y=-2时,取到最大值3
综上所述(x-1)y-x的取值范围为[-13/4,3]

4,设关于x的函数y=x^2+2a(√1-x^2)+a^2-6a+13

(1)求函数y的最大值M(a)
设t=√(1-x^2)
则x^2=1-t^2,0≤t≤1
y=x^2+2a(√1-x^2)+a^2-6a+13
=1-t^2+2at+a^2-6a+13
=-(t-a)^2+2a^2-6a+14
当0≤a≤1时
可取t=a
所以M(a)=2a^2-6a+14
当a＜0时
t=0时有M(a)=a^2-6a+14
当a＞1时
t=1时有M(a)=a^2-4a+13

(2)是否存在正常数b,使a在(1,+∞)上变化时,y=logbM(a)的最大值是-4/3
上题求得
当a＞1时
t=1时有M(a)=a^2-4a+13=(a-2)^2 +9
M(a)可取到最小值9
y=logbM(a)的最大值是-4/3
从而求得b=(√3)/9

设x²=t  所以t≥0

所以不等式化为二次方程t²+mt-1=0   

因为对一切实数恒成立

所以判别式b²-4ac<0

即解m²-4*1*(-1)<0

解得m范围是全体实数