1<=n<=2012,若(n^2-n-3)(n^2+n+3)能被5整除求n的个数
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解决时间 2021-01-12 10:29
- 提问者网友：鐵馬踏冰河
- 2021-01-11 14:47
1<=n<=2012,若(n^2-n-3)(n^2+n+3)能被5整除求n的个数
最佳答案
- 五星知识达人网友：三千妖杀
- 2021-01-11 16:03
令n=5k+t, t=-2~2
记f(n)=(n²-n-3)(n²+n+3)
当t=-2时，f(n)≡(4+2-3)(4-2+3)≡3*5≡0 (mod5)
当t=-1时，f(n)≡（1+1-3）（1-1+3）≡-3 （mod5)
当t=0时，f(n)≡-3*3≡-9≡1 (mod5)
当t=1时，f(n)≡(1-1-3)(1+1+3)≡0 (mod5)
当t=2时，f(n)≡(4-2-3)(4+2+3)≡-9≡1 (mod5)
因此当n=5k-2（或5k+3), 或5k+1时，即每5个数中有2个n，使f(n)能被5整除。
2010/5=402，再加上1011能被5整除，
因此有402*2+1=805个n。
记f(n)=(n²-n-3)(n²+n+3)
当t=-2时，f(n)≡(4+2-3)(4-2+3)≡3*5≡0 (mod5)
当t=-1时，f(n)≡（1+1-3）（1-1+3）≡-3 （mod5)
当t=0时，f(n)≡-3*3≡-9≡1 (mod5)
当t=1时，f(n)≡(1-1-3)(1+1+3)≡0 (mod5)
当t=2时，f(n)≡(4-2-3)(4+2+3)≡-9≡1 (mod5)
因此当n=5k-2（或5k+3), 或5k+1时，即每5个数中有2个n，使f(n)能被5整除。
2010/5=402，再加上1011能被5整除，
因此有402*2+1=805个n。
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