（√4x2+4x+1）/（√4x2+4x） -1 与0的大小关系
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解决时间 2021-11-21 06:28
- 提问者网友：未信
- 2021-11-20 15:45
（√4x2+4x+1）/（√4x2+4x） -1 与0的大小关系
最佳答案
- 五星知识达人网友：怙棘
- 2021-11-20 16:54
设 √1+1/(4x)=t 则dx=-1/2*t/(t^2-1)^2dt
原式=-1/2∫t^2/(t^2-1)^2dt
=-1/2∫dt/(t^2-1)-1/2∫dt/(t^2-1)^2
=-1/4∫[1/(t-1)-1/(t+1)dt-1/2∫dt/(t^2-1)^2
=-1/4ln|(t-1)/(t+1)|-1/2∫dt/(t^2-1)^2
设 1/(t^2-1)^2=a/(t-1)+b/(t-1)^2+c/(t+1)+d/(t+1)^2
=[(a+c)t^3+(a+b-c+d)t^2-(a-2b+c+2d)t-a+b+c+d]/(t^2-1)^2
则：a+c=0 a+b-c+d=0 a-2b+c+2d=0 -a+b+c+d=1
解此联立方程组得：
a =-1/4 b =1/4 c =1/4 d =1/4
代入积分,再变为x的函数,再化简得：
原式=1/2√(4x^2+x)+1/8*ln|1/4+2x+√(4x^2+x)|+C
原式=-1/2∫t^2/(t^2-1)^2dt
=-1/2∫dt/(t^2-1)-1/2∫dt/(t^2-1)^2
=-1/4∫[1/(t-1)-1/(t+1)dt-1/2∫dt/(t^2-1)^2
=-1/4ln|(t-1)/(t+1)|-1/2∫dt/(t^2-1)^2
设 1/(t^2-1)^2=a/(t-1)+b/(t-1)^2+c/(t+1)+d/(t+1)^2
=[(a+c)t^3+(a+b-c+d)t^2-(a-2b+c+2d)t-a+b+c+d]/(t^2-1)^2
则：a+c=0 a+b-c+d=0 a-2b+c+2d=0 -a+b+c+d=1
解此联立方程组得：
a =-1/4 b =1/4 c =1/4 d =1/4
代入积分,再变为x的函数,再化简得：
原式=1/2√(4x^2+x)+1/8*ln|1/4+2x+√(4x^2+x)|+C
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