非零函数f(x)对应f(a+b)=f(a)·f(b) 且x＞0时，f(x)＞1

求证f(x)＞0

由f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
得到f(0)=1是不是有点牵强阿。。。

f(a+b)=f(a)·f(b).令b=0.
f(a)=f(a)*f(0),因为是非零函数.
所以f(0)=1.
当x>0时，f(x)>1>0.
当x<0时，-x>0
f(x+(-x))=f(x)f(-x).
f(x)=1/f(-x)>0,又f(0)=1>0
综上，f(x)>0

方法1:

(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0. 又f(x)是非零函数，所以f(x)>0 (2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a) 当x<0时,有x+a<a,f(x)=f(x+a)/f(a)>1,即f(x+a)>f(a),所以，f(x)为减函数。 (3)f(x-3).f(5-x^2)=f(x-3+5-x^2)=f(-x^2+x+2) 原不等式化为：f(-x^2+x+2)≤1/4，两边平方，[f(-x^2+x+2)]^2≤1/16 f[2(-x^2+x+2)]≤1/16 因f(x)为减函数，f(4)=1/16,则有2(-x^2+x+2)>=4,-x^2+x>=0 解得：0≤x≤1 方法2:

因为f(a+b)=f(a)f(b)，令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0，所以等式两同时消去f(0)，得：f(0)=1。 2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2，于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)＝（f(0.5x)）^2>=0。因为是非零函数，所以对于任意x都有f(x)不等于0，所以f（x)>0。 3.设x1<x2，因为对任意的x属于r，恒有f(x)>0，所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2)，分子分母同时约去f(x2），得：f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)，因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>1,所以f(x1)/f(x2)>1，所以f(x)是r上的减函数。