【正定矩阵】正定矩阵的性质有哪些

【正定矩阵】正定矩阵的性质有哪些

【答案】 　　一． 定义
　　　　因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:
　　　　设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x) 为正定（半正定）二次型.
　　　　相应的,正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
　　　　令A为 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）,则称A负定（半负定）矩阵.
　　　　例如,单位矩阵E 就是正定矩阵.
　　　　二． 正定矩阵的一些判别方法
　　　　由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法：
　　　　1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数.
　　　　证明：若 ,则有
　　　　∴λ＞0
　　　　反之,必存在U使
　　　　即
　　　　有
　　　　这就证明了A正定.
　　　　由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负.
　　　　2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E.
　　　　证明：A正定
　　　　二次型 正定
　　　　A的正惯性指数为n
　　　　3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）.
　　　　证明：n阶对称矩阵A正定,则存在可逆矩阵U使
　　　　令 则
　　　　令 则
　　　　反之,
　　　　∴A正定.
　　　　同理可证A为半正定时的情况.
　　　　4．n阶对称矩阵A正定,则A的主对角线元素 ,且 .
　　　　证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定
　　　　∴ 是正定二次型
　　　　现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入,有
　　　　∴
　　　　∴A正定
　　　　∴存在可逆矩阵C ,使
　　　　5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零.
　　　　证明：必要性：
　　　　设二次型 是正定的
　　　　对每个k,k=1,2,…,n,令
　　　　,
　　　　现证 是一个k元二次型.
　　　　∵对任意k个不全为零的实数 ,有
　　　　∴ 是正定的
　　　　∴ 的矩阵
　　　　是正定矩阵
　　　　即
　　　　即A的顺序主子式全大于零.
　　　　充分性：
　　　　对n作数学归纳法
　　　　当n=1时,
　　　　∵ ,显然 是正定的.
　　　　假设对n-1元实二次型结论成立,现在证明n元的情形.
　　　　令 ,,
　　　　∴A可分块写成
　　　　∵A的顺序主子式全大于零
　　　　∴ 的顺序主子式也全大于零
　　　　由归纳假设,是正定矩阵即,存在n-1阶可逆矩阵Q使
　　　　令
　　　　∴
　　　　再令 ,
　　　　有
　　　　令 ,
　　　　就有
　　　　两边取行列式,则
　　　　由条件 得a＞0
　　　　显然
　　　　即A合同于E ,
　　　　∴A是正定的.
　　　　三． 负定矩阵的一些判别方法
　　　　1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n.
　　　　2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零.
　　　　3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足
　　　　,
　　　　即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零.
　　　　由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略.
　　　　四．半正定矩阵的一些判别方法
　　　　1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩.
　　　　2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零,但至少有一个特征值等于零.
　　　　3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零.
　　　　注：3中指的是主子式而不是顺序主子式,实际上,只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的,例如：
　　　　矩阵 的顺序主子式 ,,,
　　　　但A并不是半正定的.
　　　　关于半负定也有类似的定理,这里不再写出.

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