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已知椭圆x方+8y方=8 在椭圆上求点p 使p到直线x-y+4=o的距离最小,并求最小值.鲁主没学参数,

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解决时间 2021-08-21 15:48
已知椭圆x方+8y方=8 在椭圆上求点p 使p到直线x-y+4=o的距离最小,并求最小值.鲁主没学参数,
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将直线x-y+4=0平移到与椭圆相切(斜率不变),设平移后的直线:y=x+b代入椭圆方程
x²+8(x+b)²=8
9x²+16bx+8b²-8=0
Δ=(16b)²-4·9·(8b²-8)=0 (切线与椭圆交点只有一个)
解得b=3(-3明显不是题目要求的解,距离直线x-y+4=0太远),所以与椭圆相切并且和x-y+4=0平行的直线为:y=x+3,与椭圆方程联立求得交点:(-8/3,1/3)
所以y=x+4和y=x+3之间的距离即为椭圆和y=x+3之间的最短距离
从O(原点)向y=x+4作垂线,分别交y=x+4和y=x+3于点A,B
因为两直线平行,所以OB/OA=3/4(原点分别距离两直线与y轴的交点的距离)
因为OB=3/√(1+1)=3/√2(点到直线距离:│AXo+BYo+C│/√(A²+B²))
所以AO=4/√2,两直线间距离=AO-BO=1/√2=√2/2,既椭圆与直线x-y+4=0的直线距离的最小值为√2/2
综上所述,当P的坐标为(-8/3,1/3)时与直线x-y+4=0的距离最小为√2/2
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