数列1，1/1+2，1/1+2+3，1/1+2+3+4 ...... 1/1+2+3+4+...+n，...的前n项的和为

数列1，1/1+2，1/1+2+3，1/1+2+3+4 ...... 1/1+2+3+4+...+n，...的前n项的和为

1+2+……+n=n(n+1)/2
所以1/(1+2+……+n)=2/n(n+1)=2*[1/n-1/(n+1)]
所以原式=2*(1/1-1/2)+2*(1/2-1/3)+2*(1/3-1/4)+……+2*[1/n-1/(n+1)]
中间正负抵消
=2*[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)

对于任意的某一项 都可以写成
2/（n（n+1））
=2/n-2/（n+1）
然后裂项求和
消掉中间项
答案是2（1-1/（n+1））

1+2+3+4+...+n=n*(n+1)/2
an=2/[n*(n+1)]
Sn=2/(1*2)+2/(2*3)+.....+2/[(n-1)*n]
Sn=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3.....-1/n+1]
Sn=2*(1-1/n+1)

第n项为2/n*(n+1)
前n项的和=2[1/1*2+.....+1/n*(n+1)]=2[1-1/(n+1)]

1+1/（1+2）+1/（1+2+3）+1/（1+2+3+4）+…+ 1/（1+2+3+4+…+n）
=2/2+2/6+2/12+2/20+2/n（n+1）
=2(1/1-1/2+1/2+1/3-1/3+…1/n-1/(n+1))
=2n/(n+1)