基本不等式解题时,除了求最值,什么时候要求左右一方为定值

求最值问题,一定要求左右一方为定值,但看如下一题
a,b均为整数,且有ab-a-b=1 求a+b最小值
我的解法
:依题意:ab=a+b+1
a+b≥2√ab=2√(a+b+1)
当且仅当a=b是等号成立
故令t=a+b,则有
t≥2√(t+1)
得t^2≥4t+4
解得t≤2-2√2 或t≥2+2√2
∵t=a+b＞0
∴t≥2+2√2
当且仅当a=b=1+√2是等号成立

答案与参考答案一致,我去问老师,他也说这样的思路可以,但我忘了问这个问题---在这个解法中a+b不是定值,为什么也可以用到均值不等式?拓展一下,什么时候可以在两端都不是定值的时候用均值不等式?,要求左右一方为定值的本质意义在于哪里?
不要答非所问哦,不要替我想我要问什么哦,仔细看下问题
题目的"整数"改为"正数"打错了

呵呵，这是个好问题！不过楼上的一些解答说得似乎太复杂了，很多又是答非所问……

其实从本质上说，对于一个不等式问题，可以随便用任何一个成立的不等式，连着用多次也没关系，只要保证不等号的方向总是对的就行。但是最值问题比不等式问题要求更强，它要求等号能够成立。所以用不等式解决最值问题时就两步(以求X的最小值为例)：1. 用不等式放缩，得到X≥a（注意，a是个已知的值，不能还是个函数，这就是“一方为定值“的含义，但个人认为这么说容易引起误解）。2. 说明X=a可以成立（这里常见的情况是X≥a是由若干不等式联合得到的，比如X≥Y≥Z≥a，这时为说明X=a可以成立，只要说明上面的每个不等式都能成立"="就行）。只要这两点都做到了，那方法一定是对的。下面用这个标准来看看你举的例子。

先看你问题中的这个例子。首先放缩得到t≥2+根号2，这肯定没问题。其次，你这里面用了两步放缩，第一个等号成立条件a=b, 第二个等号成立条件t=2+根号2. 当a=b=1+根号2/2时，两个不等式都成立等号。所以这个做法没有任何问题。

再看你在二楼追问的那个问题，错在我上面说的1.不满足。这个证明没有把x^2+4/x放缩到≥一个固定的值a. x^2+4/x≥4√x, 这个式子没错，但右边不是定值，通过此式得不出一个下界（”下界“这个概念顾名思义就好）。后面的推理也是没有道理的，就好比通过甲>乙，丙=丁，然后推出甲>丁一样荒谬。关键在于4√x不是定值，x不同时，4√x可以是上面的乙，也可以是上面的丁，用它作媒介推不出来甲和丙的大小。

总之，”一方为定值“这个说法有一定道理，不过容易引起误解。实际上放缩的过程可能是由多个不等式联合得到的，并不需要每一个不等式都有一方为定值（比如你问题中那个例子的t≥2√(t+1) 这一步，两边都不是定值），但一定要求最后得到一个定值作为下界。我建议楼主用我上面说的1,2来理解，也包括那里括号中的内容。

P.S，"dantafiction"网友说的那个三角形全等判定的命题是对的。边边角情况下，如果那个角是钝角则的确可以判定全等。我看上面那些解答中也就dantafiction的切题且靠谱一些。不过我觉得他说的有些绝对，"一边为定值"这种类似于口诀的说法有一定道理，关键是要理解这句话的实质，而不仅仅是字面意思。很多错误或者教条都是由于只从字面理解某些口诀造成的。如果楼主理解了我上面说的两条，这种口诀不要也罢~~但愿我的解答对楼主有帮助:)

1、你看一下教科书上均值不等式的推理过程，只要a>或者=0,b>或者=0，就可以用均值不等式，不需要a+b一定是定值。 2、这个要根据题意来决定，比如说题目中有a+b或者a*b之类的，注意我说的是之类的，比如像一个乘式或者一个加式，如（a的平方）+（b的平方），或者（a的平方）+（b的平方）等等，要靠自己总结和思考。 3、这个问题没怎么看明白。个人觉得这个不过是题目的条件或者是要求吧，如果是在不等式中，大概是为了求最值吧。

你的题目对于a、b系数相同的可以这样做 如果为ab-2a-b=1,求a+b的最小值应该就不行了 此时a+b≥2√ab＝√(2a+b+1)怎么换元？ 如果令2a+b=t,左边a+b无法用t表示 最好这样做： ab-a-b=1 ab-a-b+1=2 (a-1)(b-1)=2 a+b=(a-1)+(b-1)+2 a+b≥2+2√（a-1)(b-1) 因为（a-1)(b-1)=2,当且仅当a-1=b-1=√2时 有最小值2+2√2 你看是不是这样

楼主第一只要用到均值不等式都要符合正定等的条件 例如证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 这才是正确的 像四楼解，那才成立，那才符合正定等。 但是你的做法也不能说错，严谨的说你用到的的确不是均值不等式，而是它的变形，用它做了一巧妙的过渡，这种过渡又是正确的，允许的，也符合数学推理 你这道题目的解法跟你举例的那个根本不是同一个性质的题目，你们的目的是不同的，你举例的那个是为了求最值，你上面那个只是一个过渡 还有就是最后的那位说那个三角形定理，不对吗，我真不懂，人家不是说要两边和那个夹角吗，重点是夹角，我不是怀疑你的能力，你们爱思考是好事，但数学的定理经过了多少数学家的反复证明才变成今天的，我们不能随便说不合理吧，在想定理本身的问题外，我们是否要考虑一下自己的问题呢。 数学博大精深

首先公式a+b≥2√ab(a>0,b>0)是恒成立的，一楼已经 证明过了，所以不要求有一边为定值。 其次，在计算最值时为什么要要求一边为常数呢。如果不是常数a+b≥2√ab确定出的最小值则是≥min2√ab, a=b只能使不等式的等号成立，而不是取2√ab的最小值，此时，给不出表达式的最值的。 形象的解释：即在曲线a+b下面画了一条曲线2√ab，两曲线的重合点未必是曲线a+b的最低点，而出定值的不等式则是在曲线a+b下面画了一条水平线，重合的点必然是最低点。 第三，你题中的方法，使用a+b≥2√ab=2√(a+b+1)这一不等式中的a=b确定的并不是最小值，而是这个等式成立的条件，最小值为min2√(a+b+1)，只是恰好a+b≥2√(a+b+1)这个不等式自身能给出了a+b的最值a+b≥2+2√2（对应a=b恰好满足最值条件a-1=b-1） 综上，不等式恒成立，在应用中可以正常使用，只要a>0,b>0；求最值使用时尽可能使一边为定值，否则，a=b给出的仅是不等式成立的条件，而未必是最值的条件。 PS：作为反例y=x²+4/x≥4√x，则是典型的，曲线4√x在曲线x²+4/x的下方，x²=4/x时两曲线相切，但不是最小值点，随着x的减小，两曲线继续下降，只是4√x下降的更快，在取最小值x²=2/x时，4√x比x²+4/x的最小值还要小，即不等式x²+4/x≥4√x没有错，只是这种应用给不出最小值。所谓使不等式一边为定值的说法，不是不等式成立的条件，而是我们应用的一种指导原则。

你的问题有一个前提，就是“a,b均为整数”应为“a,b均为正数”，在这个前提下，你的答案是正确，也好理解你的问题。 a+b≥2√(ab)的来源是(√a-√b)^2≥0,由此a≥0且b≥0，而(√a-√b)^2=a-2√(ab)+b，即为a-2√(ab)+b≥0，由此得a+b≥2√(ab)。在这个基本公式中，只要求a≥0且b≥0而未要求a+b一定是定值，虽然满足a≥0且b≥0时定值也成立。至于当a=b时等号成立，是因算术平均值与几何平均值的性质决定的。命题中a,b均为正数而排除0是由考察点决定的，也就是说在考察点的范畴说a、b或a+b不能做分母，所以你老师说这样的思路可以（严格意义上说不严谨）。