初三数学集合难题003

已知：AB=2 AD=4 ∠DAB=90°点C是射线BE上的一个动点（点C与点B不重合）

M是线段DC的中点 联结MA MB 再联结BD 交射线AM于点N 如果以A、N、D为顶点的三角形与△BMC相似，求线段BC的长。

注意：这是个分类讨论问题~~~~

急~速度作答 要 有过程 错的最好别来~

分两种情况:如图所示，这两种情况分别为过D点做BE的垂线，垂足为G，则分为C在G的右侧和C在G的左侧两种情况，(C与G重合不可能，此时△BCM为直角三角形，与△AND不相似。)下面分别对这两种情况求解:

(1)，当C在G的右侧时，如图 所示，

此时在△BCM中，角BMC最大. 过点M作AB的垂线，垂足为E，交BD于点F，则EM//AD//BE .

从而E为AB的中点，F为BD的中点，

又因为AM=BM，即△ABM为等腰三角形，

从而EM也是△ABM角平分线.

从而∠AME=∠BME，

又因为∠EMB=∠MBC(EM//BC)，∠DAM=∠AME(AD//EM)，

所以∠DAN=∠MBC;

因为△MNF相似于△AND（因为AD//MF）,则

NM/AN=MF/AD，

而△AND相似于△BMC，则△MNF相似于△BMC，

NM/BM=MF/BC=1/2,

所以NM=(1/2)BM，

因为BM=AmM

所以NM=(1/2)AM，

所以NM=AN，

所以MF=AD，

所以MF=4，从而BC=8 .

(2)当C在G的右侧时，如图 所示,

此时在△BCM中，∠BCM最大. 过点M作AB的垂线，垂足为E，交BD于点F，则EM//AD//BE .

令MF=x,则BC=2x，EF=(1/2)AD=2，EM=2+x, AE=(1/2)AB=1，

从而在直角三角形AEM中,可得AM=根号下[1+(2+x)^2]，

则BM=AM=根号下[1+(2+x)^2]，

则与(1)中类似，△MNF相似于△BMC，

则x/根号下[1+(2+x)^2]=NM/2x，

则NM=2x^2/根号下[1+(2+x)^2]，

则由△MNF相似于△AND得到，

x/4=NM/AN，

则AN=8x/根号下[1+(2+x)^2]，

因为AN+NM=AM，

所以有2x^2/根号下[1+(2+x)^2]+8x/根号下[1+(2+x)^2]=根号下[1+(2+x)^2]，

整理得到x^2+4x-5=0，

解得x=1,

所以BC=2x=2 .