初三数学题一道。。急急急

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点。

（1）试探索四边形EGFH是什么形状，并加以证明

（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明

（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明

(1)因为G、F、H分别是BE、BC、CE的中点。

所以FH//GE GF//EH即四边形EGFH是平行四边形

（2—）因为等腰梯形ABCD中，AD∥Bc

所以∠A=∠D AB=DC

因为四边形EGFH是菱形

所以EG=EH=HF=GF

因为G、F、H分别是BE、BC、CE的中点

所以在三角形BCE中GF//EC GF=1/2EC BE//HF BE=1/2HF

所以EC=BE

因为∠A=∠D AB=DC

即三角形ABE全等DCE

所以AE=DE即E运动到AD中点时四边形EGFH是菱形

（3）连接EF

因为菱形EGFH是正方形

所以∠EGF=∠GFH=F∠HE=∠HEG=90°

所以对角线EF平分∠HEG即B∠EF=∠CEF=45°

因为F是BC中点

所以BE=EC

因为B∠EF=C∠EF=45° BE=EC EF=EF

所以三角形BEF全等三角形CEF

所以∠BFE=∠CFE

因为在三角形BCE中GF//EC GF=1/2EC BE//HF BE=1/2HF BE=EC ∠EGF=∠GFH=∠FHE=∠HEG=90°

所以HF =HC即∠HCF=∠HFC=45°

因为EFB=45°

所以∠BFE=90°

即EF⊥BC

解答：四边形EGFH是平行四边形

点G,F,H是中点，HF是三角形EBC的中位线，所以HF=BE/2 HF//BE BE/2=GE 所以HF=EG HE//EG

所以四边形EGFH为平行四边形

菱形就是EG=EH 所以EB=EC 在等腰梯形ABCD中，点E位于AD中点时满足条件

E是AD的中点 AE=ED AB=DC ∠A=∠D 三角形ABE全等于三角形EDC

所以EB=EC ,又因为四边形EGFH是平行四边形

所以 四边形EGFH是菱形

EF=BC/2

证明：连接GH，GH是中位线 GH=BC/2 GH=EF

因为：四边形EGFH是菱形 GH=EF

所以菱形EGFH是正方形

（1）是平行四边形。

因为G、F、H分别是BE、BC、CE的中点。

所以三角形BGF相似于三角形BEC（因为两边对应成比例（相似比为1：2），及其夹角相等）

所以GF平行于EH

同道理，得三角形FHC相似于三角形BEC，所以FH平行于EB.

所以四边形EGFH是平行四边形（因为对边平行）

1. G,F，H是BE,BC，CE的中点 =>FH//BE,FH=BE/2=EG=>EGFH是平行四边形。 2.四边形EGFH是菱形=>EF⊥GH，又，GH//BC==>EF⊥BC， ABCD是等腰梯形，EF⊥BC⊥AD==>E是AD中点。 3.EGFH为正方形==>∠GFH=∠FGB=90，==>∠EBC=∠ECB=45， ==>△EBC是等腰直角三角形,且EF⊥BC==>EF=BC/2。