某一点方向导数取最大时的方向一定是这一点的梯度方向吗？书上那个关于梯度和方向导数的关系是充要的吗

某一点方向导数取最大时的方向一定是这一点的梯度方向吗？书上那个关于梯度和方向导数的关系是充要的吗

1、方向导数是函数沿各个方向的导数,梯度是一个向量,因此梯度本身是有方向的
2、它们的关系主要有两个：
（1）函数在梯度这个方向的方向导数是最大的,换句话说,一个函数在各个方向都有方向导数,其中梯度这个方向的导数为最大；
（2）函数方向导数的最大值为梯度的模.
函数f(x1，x2，...，xn)在点x0沿方向u=(u1，u2，...，un)的方向导数为
af/ax1*u1+af/ax2*u2+...+af/axn*un=<Df(x0), u>，
其中Df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示内积。
由Cauchy_Schwartz不等式知道当且仅当u和Df(x0)同方向时，内积最大，
反方向时内积最小;
因此u=Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最大;
u=-Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最小。
（3）梯度和方向导数的关系是充要的



扩展资料：
1、方向导数本质上研究的是函数在某点处沿某特定方向上的变化率问题，梯度反映的是空间变量变化趋势的最大值和方向。方向导数与梯度在微分学中有重要的运用。
2、在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。
参考资料来源：搜狗百科-方向导数与梯度
参考资料来源：搜狗百科-方向导数

是重还是充

方向导数是求沿某一方向的函数的变化率的，相当于任意方向的偏导数梯度是找个方向导数最大的方向，当然是向量了，同时向量的大小也知道。如果理解了数量场，那个 梯 字 度字 的含义也明确了

方向导数是函数沿各个方向的导数,梯度是一个向量,因此梯度本身是有方向的. 它们的关系主要有两个： 1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的,换句话说,一个函数在各个方向都有方向导数,其中梯度这个方向的导数为最大； 2、函数方向导数的最大值为梯度的模. 如果解决问题请采纳.