abc都是正数且a+b+c=1证明(a+b)/1+(b+c)/1+(c+a)/1大于等于2分之9
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解决时间 2021-05-02 10:34
- 提问者网友：城市野鹿
- 2021-05-02 04:38
abc都是正数且a+b+c=1证明(a+b)/1+(b+c)/1+(c+a)/1大于等于2分之9
最佳答案
- 五星知识达人网友：天凉才是好个秋
- 2021-05-02 05:42
利用柯西不等式
因为a+b+c=1,可知a+b + b+c + c+a=2(a+b+c)=2
所以(a+b + b+c + c+a)[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]
≥[√(a+b) * 1/√(a+b) + √(b+c) * 1/√(b+c) + √(c+a) * 1/√(c+a) ]^2=3^2=9
即2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]≥9
所以[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]≥9/2,即证
全部回答
- 1楼网友：笑迎怀羞
- 2021-05-02 06:35
2(a+b+c)=2,由Cauchy不等式 [(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=(1+1+1))^2=9 2[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=9 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2 另外 把 a+b+c=1代入1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2 得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3 由对称性不妨设a<=b<=c,则a+b<=a+c<=b+c,1/(b+c)<=1/(a+c)<=1/(a+b),
由排序不等式正序和>=乱序和>=逆序和，有 a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=b/(b+c)+c/(a+c)+a/(a+b) a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=c/(b+c)+a/(a+c)+b/(a+b) 两式相加得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3
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