已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝12，Sn＝n2an?n(n?1)，n＝1，2，…

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a

证明：（1）由Sn＝n2an?n(n?1)知，
当n≥2时：Sn＝n2(Sn?Sn?1)?n(n?1)，…（1分）
即(n2?1)Sn?n2Sn?1＝n(n?1)，
∴
n+1
nSn?
n
n?1Sn?1＝1，对n≥2成立． …（3分）
又
1+1
1S1＝1
∴{
n+1
nSn}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴
n+1
nSn＝1+(n?1)?1…（5分）
∴Sn＝
n2
n+1…（6分）
（2）bn＝
Sn
n3＝
1
n(n+1)＝
1
n?
1
n+1…（8分）
∴b1+b2+…+bn＝1?
1
2+
1
2?
1
3+…
1
n?
1
n+1
=1?
1
n+1＜1…（12分）