已知f(x)=log4(4x+1)+kx(K€R)是偶函数

已知f(x)=log4(4x+1)+kx(K€R)是偶函数

解：（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）
∴log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx
即log44x+14-x+1=-2kx，log44x=-2kx∴
x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-12
（2）k=-
12时，f(x)=log4(4x+1)-
12x=log44x+12x=log4(2x+
12x)
∵2x+
12x≥2∴log4(2x+
12x)≥
12，所以f（x）的值域为[
12，+∞)追问2)证明:对任意实数B,函数Y=F(X)的图像与直线Y=1/2X+B最多只有一个交点.

题目是f（x）=log4(4^x+1)+kx吧

f(x)=log4(4x+1)+kx的定义域是x>-1/4,定义域都不对称，怎么可能是偶函数呢。是不是题目打错了。追问哦,是已知f(x)=log4(4x+1)+kx(K€R)是偶函数,(1)求k 的值(2)证明:对任意实数B,函数Y=F(X)的图像与直线Y=1/2X+B最多只有一个交点.追答函数f(x)=log4(4x+1)+kx 不管K是什么值，定义域是x>-1/4,定义域都不对称,不可能是偶函数，条件不对吧。追问题目是f（x）=log4(4^x+1)+kx追答1)f（-x）=log4(4^(-x)+1)-kx=f(x),可得k=-1/2.f（x）=log4(4^x+1)-1/2x.
2)y=log4(4^x+1)-1/2x.及Y=1/2X+B,
log4(4^x+1)-x=B
函数g(x)=log4(4^x+1)-x,g'(x)=4^x/(4^x+1)-1<0,可知g(x)=log4(4^x+1)-x单调减少且g(x)>0.所以对B>0与g(x)=log4(4^x+1)-x仅有一个交点，B<=0与g(x)=log4(4^x+1)-x无交点。