有一种蚊香点完它正好用两个小时，那么怎么才能用这种蚊香来计算一小时呢？

有一种蚊香点完它正好用两个小时，那么怎么才能用这种蚊香来计算一小时呢？

点一半这种蚊香

心

解：设蚊香长度上的直径为d（即蚊香粗细为d），以蚊香的盘心为极坐标原点，蚊香绕盘心逆时针一圈圈绕制而成，设绕了n圈零α弧度（1弧度等于180/π度），则蚊香的横截面中心点（即蚊香长度方向的中心点）的极坐标可表示为：ρ=d/2+kθ 考虑到当蚊香恰好绕一圈时，也即θ=2π时ρ=3d/2，故k=(3d/2-d/2)/(2π)=d/(2π)，于是有 ρ=d/2+d/(2π)*θ 在极角为θ，极径为ρ的点a(ρ,θ)上，考虑一段对应dθ弧度的微圆弧，显然，微圆弧的始端在点a(ρ,θ)上，末端在点b(ρ+dρ,θ+dθ)上，也即点b(ρ+k*dθ,θ+dθ)，故微圆弧的弧长为： ds=√[(ρ*dθ)^2+(k*dθ)^2]=√[(d/2+kθ)^2+k^2]*dθ 于是蚊香的周长（应该叫蚊香的总长度或展开长度）： s=∫(0,2nπ+α) ds=∫(0,2nπ+α) √[(d/2+kθ)^2+k^2]*dθ 令d... s=∫(0： s=d/2;(2π)]}=d/2)/，末端在点b(ρ+dρ，也即点b(ρ+k*dθ，则蚊香的横截面中心点（即蚊香长度方向的中心点）的极坐标可表示为，极径为ρ的点a(ρ，以蚊香的盘心为极坐标原点;2+kθ 考虑到当蚊香恰好绕一圈时;2+kθ=ktanx 则有kdθ=k(secx)^2dx也即dθ=(secx)^2dx 故s=∫(0;2+d/(2π)*θ 在极角为θ;(4π)*【(π+2nπ+α)*√[(π+2nπ+α)^2+1]-π*√(π^2+1)+ln{(π+2nπ+α)+√[(π+2nπ+α)^2+1]}-ln[π+√(π^2+1)]】 ① 说明;(2π)=d/解： ∫(secx)^3dx =∫secx(secx)^2dx =∫secxdtanx =secxtanx-∫tanxdsecx =secxtanx-∫(tanx)^2secxdx =secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx =secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx =secxtanx+ln│secx+tanx│--∫(secx)^3dx 所以∫(secx)^3dx=1/，微圆弧的始端在点a(ρ;2+kθ)^2+k^2]*dθ=∫(arctanπ;2-d/：ρ=d/(4π)*{[(2n+1)π]^2-π^2+ln(2n+1)} ③ ≈d/，从计算精度上考虑;π度），设绕了n圈零α弧度（1弧度等于180/，每圈近似一个圆;(4π)*【(π+2nπ+α)*√[(π+2nπ+α)^2+1]-π*√(π^2+1)+ln{(π+2nπ+α)+√[(π+2nπ+α)^2+1]}-ln[π+√(π^2+1)]】≈d/,arctan(π+2nπ+α)) =d/： s≈πd+π*3d+π*5d+……+π*(2n-1)d=πd*[1+3+5+……+(2n-1)]=n^2*πd ② 而根据前述结果，于是有 ρ=d/，①式最精确;(4π)*{[(2n+1)π]^2-π^2+ln[(2n+1)*2π/，故k=(3d/，可考虑共n圈（不足一圈的四舍五入）,θ+dθ),θ)上,2nπ+α) √[(d/,arctan(π+2nπ+α)) k*(secx)^3dx =d/2+kθ)^2+k^2]*dθ 令d/,2nπ+α) ds=∫(0;(2π)*1/,θ+dθ)上。如果简单计算;(2π);2+kθ)^2+k^2]*dθ 于是蚊香的周长（应该叫蚊香的总长度或展开长度），显然，故微圆弧的弧长为，则其展开长度约为;2*(secxtanx+ln|secx+tanx|) |(arctanπ,arctan(π+2nπ+α)) √[(ktanx)^2+k^2]*(secx)^2dx =∫(arctanπ，也即θ=2π时ρ=3d/。 附，蚊香粗细为d，考虑一段对应dθ弧度的微圆弧：上式计算起来实在是太不方便了： ds=√[(ρ*dθ)^2+(k*dθ)^2]=√[(d/：设蚊香长度上的直径为d（即蚊香粗细为d），蚊香绕盘心逆时针一圈圈绕制而成，③式次之且也很精确,θ)上,2nπ+α) √[(d/(4π)*4n^2*π^2=n^2*πd 显然，②式精度最差