已知f(x)=x^(1/2)-x^(-1/2)则1：证明他有反函数，并求出它的反函数

写成y=x^(1/2)-x^(-1/2)

两边平方y ^2+2=x+1/x

左右乘以x，得x * y^2=x^2 + 1

移项x^2 - （y^2 +2)*x +1=0

此方程的△ = （y^2 +2)^2 -4 =y^4 + 4* y^2≥0

所以此方程有反函数

反函数为方程求解，即x=( x^2+2+√(y^4+4* y^2）) /2

将x 和 y 互换，得

f(x)=( x^2+2 ± √(x^4+4* x^2）) /2

思路知道了就简单了撒，反函数要求原函数的定义域内的函数值与自变量必须一一对应且对同一个函数值只能有一个x的解，可以证明函数是单调函数，那就有反函数了

对f（x）求导得f ‘ （x）=二分之一倍（x的负二分之一次方+x的负二分之三次方）

f ’（x） 在x的定义域内恒大于零，

所以f（x）在定义域上是单调递增的函数，所以有反函数

求反函数： 将函数两边同时平方得 f（x）的平方=x+x-2

所以变形得x=【f（x）的平方+2】 / 2

换标记得f负一（x）（注：函数的表示符号)=（x的平方+2）/2