舒尔不等式和赫尔德不等式的习题？

最好要难一点的

舒尔（Schur）不等式　　

说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：已知x,y,z>=0
　　则∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0
　　当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。
　　舒尔(schur)不等式的证明：
　　不妨设x>=y>=z
　　∑x(x-y)(x-z)
　　=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)
　　>=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)
　　>=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z)
　　=(x-y)^2(y-z)
　　>=0
　　t不是1时同理可证
　　事实上，当t为任意实数时，我们仍可证明Schur不等式成立。
　　Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto H?lder)。这是一条揭示L^p空间的相互关系的基本不等式：

设S为测度空间，，及，设f在L^p(S)内，g在L^q(S)内。则f g在L¹(S)内，且有

。

若S取作{1,...,n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）x₁, ..., x_n; y₁, ..., y_n，有

。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式可以证明L^p空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明L^p空间是L^q空间的对偶。

[编辑] 备注

• 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

• 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||_p和||g||_q表示（可能无穷的）表达式：

以及

• 如果p = ∞，那么||f ||_∞表示|f |的本性上确界，||g||_∞也类似。

• 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。

[编辑] 证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||_p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||_q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||_p > 0且||g||_q > 0。

如果||f ||_p = ∞或||g||_q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||_p和||g||_q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||_∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||_p||g||_q，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当a^p = b^q时等式成立。因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||_p = ||g||_q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |^p = |g|^q。更一般地，如果||f ||_p和||g||_q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||_q且β = ||f ||_p），使得：

μ-几乎处处 (*)

||f ||_p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||_q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

[编辑] 参考文献

• Hardy, G.H.; J.E. Littlewood & G. Pólya (1934), Inequalities, Cambridge Univ. Press, ISBN 0521358809
  
• H?lder, O. (1889), "Ueber einen Mittelwerthsatz", Nachr. Ges. Wiss. G?ttingen: 38–47
  
• Kuptsov, L.P. (2001), "H?lder inequality", in Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, ISBN 978-1556080104
  
• Rogers, L J. (1888), "An extension of a certain theorem in inequalities", Messenger of math 17: 145–150
  
• Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra, Online e-book in PDF format, Brigham Young University
  
• 邢家省, Young不等式在Lp空间中的应用, 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. 于2009-10-27访问.

• 张愿章, Young不等式的证明及应用, 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. 于2009-10-27访问.

取自“ http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B5%AB%E5%B0%94%E5%BE%B7%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F”