高等数学 设函数f(x) = x^2 - x∫(0, 2) f(x) dx + 2∫(0, 1) f(x) dx，求此函数f(x)；

高等数学 设函数f(x) = x^2 - x∫(0, 2) f(x) dx + 2∫(0, 1) f(x) dx，求此函数f(x)；

关键是注意到对一个函数在某区间上定积分的结果是一个数（而不是函数），因此本题中可设∫f(x)dx（积分限0到1）=a，∫f(x)dx（积分限0到2）=b，于是f(x)=x^2-bx+2a。现在对上式两边求0到1的定积分，即∫f(x)dx=∫x^2dx-b∫xdx+2a∫dx，因此a=1/3-b/2+2a。即a-b/2=-1/3。同理再求0到2的定积分，有b=∫x^2dx-b∫xdx+2a∫dx，b=8/3-2b+4a，即4a-3b=-8/3。联立解得a=1/3，b=4/3，因此f(x)=x^2-4x/3+2/3。