(高中数学题)两个正整数之和比积小1000,且其中一个是完全平方数，试求较大的数.

(高中数学题)两个正整数之和比积小1000,且其中一个是完全平方数，试求较大的数.

设这2个数为 a b
a+b+1000=ab
ab-a-b=1000
ab-a-b+1=1001
(a-1)(b-1)=1001
其中一个是完全平方数
不妨设a=m^2
(m^2-1)(b-1)=1001
(m+1)(m-1)(b-1)=1001
1001=7*11*13
m-1=11
m+1=13
b-1=7
a-1=11*13
a=144
b=8
较大的数为144

xy-(x+y)=1000 (x-1)(y-1)=1001 1001=1*7*11*13 1+1=2 7+1=8 11+1=12 13+1=14 7*11+1=78 7*13+1=92 11*13+1=144=12^2 7*11*13+1=1002 只有144是完全平方数 ∴x-1=11*13=143 y-1=7 x=144 y=8 较大数为144

设其中一个正整数是完全平方数为m^2，另一个正整数为n. m^2+n+1000=m^2*n (n-1)m^2-n-1000=0 (n-1)m^2=1000+n m^2=(1000+n)/(n-1) m^2=1+[(1000+n)-(n-1)]/(n-1) m^2=1+1001/(n-1)(说明2≤n≤1002) 1001=1*7*143=1*7*11*13=1*77*13=1*91*11=1*1001 唯有1001/(n-1)=143这个因子，满足1+1001/(n-1)=m^2=12是个完全平方数; 其他因子1001/(n-1)=1,7,11,13,77,91,1001, 均不能满足1+1001/(n-1)=m^2是个完全平方数. 所以这个数为12^2=144,至于n这里就不用求了。