在三棱锥P-ABC中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA=2AB,PA⊥平面ABC

1.证明BC⊥PB（已证）
2.求PB与平面PAC所成的角
3.求二面角A-PC-B的余弦值

第一个问题：
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA。
∵△ABC是直角三角形，且AB＝BC，∴BC⊥AB。
由BC⊥PA、BC⊥Ab、AB∩PA＝A，得：BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB。

第二个问题：
过B作BE⊥平面PAC交平面PAC于E。
显然，∠BPE就是PB与平面PAC所成的角。

∵Rt△ABC中，AB＝BC、AB⊥BC，∴AC＝√2AB、且△ABC的面积＝（1/2）AB^2
∵PA⊥平面ABC，⊥PA⊥AC。
∴PAC的面积＝（1/2）PA×AC＝（1/2）×2AB×√2AB＝√2AB^2。

很明显，B－PAC的体积＝P－ABC的体积，
∴（1/3）△PAC的面积×BE＝（1/3）△ABC的面积×PA，
∴√2AB^2×BE＝（1/2）AB^2×PA，　∴BE＝（1/2）PA/√2＝（1/2）×2AB/√2＝AB/√2。

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝√（PA^2＋AB^2）＝√（4AB^2＋AB^2）＝√5AB。
∴sin∠BPE＝BE/PB＝（AB/√2）/（√5AB）＝√10/10。
∴PB与平面PAC所成的角为arcsin（√10/10）。

第三个问题：
过A作AF⊥PC交PC于F，再过F作FG⊥PC交PB于G。
显然，∠AFG为二面角A－PC－B的平面角。
∵PB⊥BC，∴PC＝√（PB^2＋BC^2）＝√（5AB^2＋AB^2）＝√6AB。
由三角形面积公式，有：（1/2）PA×AC＝（1/2）PC×AF，
∴AF＝PA×AC/PC＝2AB×√2AB/（√6AB）＝2AB/√3。
∴PF＝√（PA^2－AF^2）＝√（4AB^2－4AB^2/3）＝2AB√（1－1/3）＝2√2AB/√3。

∵∠FPG＝∠BPC、∠PFG＝∠PBC＝90°，∴△PFG∽△PBC，∴FG/BC＝PG/PC＝PF/PB，
∴FG＝BC×PF/PB＝AB×（2√2AB/√3）/（√5AB）＝2√2AB/√15。
　PG＝PC×PF/PB＝√6AB×（2√2AB/√3）/（√5AB）＝4AB/√5。

∵PA⊥AB，∴cos∠APB＝PA/PB＝2AB/（√5AB）＝2/√5。
∴AG^2＝PA^2＋PG^2－2PA×PGcos∠APB＝4AB^2＋16AB^2/5－2×2AB×（4AB/√5）×（2/√5）
＝36AB^2/5－32AB^2/5＝4AB^2/5，
∴AG^2＋FG^2＝12AB^2/15＋8AB^2/15＝20AB^2/15＝4AB^2/3，而AF^2＝4AB^2/√3，
∴AG^2＋FG^2＝AF^2，∴AG⊥FG，
∴cos∠AFG＝FG/AF＝（2√2AB/√15）/（2AB/√3）＝√10/5。
∴二面角A－PC－B的余弦值为√10/5。

因为ab=bc且△abc是直角三角形，所以∠abc是直角，所以ba⊥bc 因为pa⊥平面abc，且ba⊥bc，所以bc⊥平面pab 所以pb⊥bc