利用拉格朗日乘子法求曲线z=x^2 2y^2,y=6-2x^2-y^2上点的z坐标的最大值与最小值

利用拉格朗日乘子法求曲线z=x^2 2y^2,y=6-2x^2-y^2上点的z坐标的最大值与最小值

解：由题设条件，可知是求“在2x²+y²+y=6的条件下，求z=x²+2y²的最大值与最小值”。
①作拉格朗日函数F(x,y)=z+λ(6-2x²-y²-y)=x²+2y²+λ(6-2x²-y²-y)。
②求极值点。由F(x,y)分别对x、y、λ求导，并令其值等于0，∂F(x,y)/∂x=2x-4λx=0、∂F(x,y)/∂y=4y-λ(2y+1)=0、6-2x²-y²-y=0。解方程组，得x=0、y=2，y=-3。∴可能极值点为(0,2)、(0,-3)。
③得出结论。∵x=0、y=2时，z=8；x=0、y=-3时，z=18。∴zmax=18，zmin=8。
供参考。

1、令L(x，y)=x2+3xy+y2+λ(x+y-100) ?L/?x=2x+3y+λ=0，?L/?y=2y+3x+λ=0。得2x+3y+λ=2y+3x+λ，即x=y。又x+y=100，所以x=y=50。所以函数有最大值12500。 2、?f/?x=2xy2，?f/?y=2x2y-2 所以梯度向量grad(x2y2-2y)=2xy2i+(2x2y-2)j ?2f/?x2=2y2，?2f/?x?y=4xy，?2f/?y2=2x2，?2f/?y?x=4xy。矩阵就是(2y2，4xy；2x2，4xy) 应该就是这么个意思吧。