请问如何验证极限存在

请问如何验证极限存在

首先有一个定理:一个数列收敛,当且仅当它的奇数项和偶数项构成的子列都收敛到相同的极限.
这个定理不证明,只是直观上看,所有奇数项的数构成子列{x2n-1},它收敛到A.并且所有偶数项构成子列{x2n},它也收敛到A.从而可以断定整个数列都收敛到A.
这道题为什么用这个定理,是因为这个数列不单调,不能直接用单调有界定理.但事实上它的奇数项子列和偶数项子列都单调有界,只要证明它们收敛到相同的极限就可以了.

证明:
由递推公式可知,
xn+2=3+4/(3+4/xn)=(13xn+12)/(3xn+4)=3+4xn/(3xn+4)<3+4/3=13/3
且显然xn+2>0,∴当n从3开始时,{xn}有界
又∵x1,x2都是有限常数,∴{xn}有界
令f(x)=(13x+12)/(3x+4),则f'(x)=16/(3x+4)²>0
∴f(x)为增函数.
①若xn+2=xn,解得xn=4,∴当xn=4时,数列显然收敛.
②当xn+2>xn时,解得0∴f(xn)以此类推,可知数列为单增有上界数列,并根据特征方程x=(13x+12)/(3x+4)解得x=4为数列极限.
③当xn+24
仿照②的证明可知数列为单减有下界数列,收敛于4.

而当04
根据上面的分析可知,所有奇数项子列单增有上界,收敛于4.而所有偶数项子列单减有下界,收敛于4.所以原数列收敛.
x1=4或x1>4时,可同样证明.