高一·一元二次函数题

设f（x）为定义在R上的偶函数即满足f（-x）=f（x），当x≤-1时，y=f（x）的图像是经过点（-2，0），斜率为1的射线，又在y=f（x）的图像中有一部分是顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段二次函数图像，试写出函数f（x）的表达式

解：（分区间解题）

当x≤-1时,y过（-2，0）斜率为1，设在定义域（-∞，-1]上，解析式为y=kx+b,其中，k=1

把（-2，0）代入解析式得

0 =（-2）+b

解得b=2

所以在定义域（-∞，-1]上，解析式为y=x+2

∵在定义域R上f（-x）=f（x）

∴在定义域[1，∞)上斜率为-1，过点（2，0）此时解析式设为y=k1x+b1,k1=-1,

0=-2+b1

b1=2 所以在定义域[1，∞)上解析式设为y=-x+2

在定义域(-1，1)上，因为此图像为二次偶函数，所以对称轴为y轴，顶点为（0，2） 设解析式为y=ax^2+2

把点（-1，1）代入解析式得

1=a*1+2

a=-1 在定义域（-1，1）上，解析式为y=-x^2+2

所以，函数解析式为y={x+2 x∈(-∞,-1]

-x^2+2 x∈(-1,1)

-x+2 x∈[1，∞）

f(x)=-2x2+x+2

当x≤-1时，y=f（x）的图像是经过点（-2，0），斜率为1的射线

x<=-1 时，y=x+2

f（x）为定义在R上的偶函数,当x>=1时，-x<=-1 f(x)=f(-x)=-x+2

y=f（x）的图像中有一部分是顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段二次函数图像

所以-1<x<1上是二次函数，y=ax^2+2 x=-1时，y=1代入可解出a=-1

y=-x^2+2

所以函数是由三段构成

x<=-1,f(x)=x+2

-1<x<1,f(x)=-x^2+2

x>=1,f(x)=-x+2