已知存在正整数n，能使数11…1n个1被1987整除，求证：p＝11…1n个199…9n个988…8n个877…7n个7，和q＝11

已知存在正整数n，能使数11…1n个1被1987整除，求证：p＝11…1n个199…9n个988…8n个877…7n个7，和q＝11

因为m=111…1 （n个1），m被1987整除，所以可设m=1987×k，
（1）p=m×10³ⁿ+9m×10²ⁿ+8m×10ⁿ+7m
=m[10³ⁿ+9×10²ⁿ+8×10ⁿ+7]
=1987k[10³ⁿ+9×10²ⁿ+8×10ⁿ+7]
所以p能被1987整除；
（2）q=（10m+1）×10³ⁿ⁺³+9（10m+1）×10²ⁿ⁺²+8（10m+1）×10ⁿ⁺¹+7（10m+1）
所以1987能整除 10³ⁿ⁺³+9×10²ⁿ⁺²+8×10ⁿ⁺¹+7，
由1987整除m，得1987整除9m=10ⁿ-1，
所以1987整除 10ⁿ⁺¹-10，10²ⁿ⁺²-100，10³ⁿ⁺³-1000，
所以1987整除 10³ⁿ⁺³-1000+9×10²ⁿ⁺²-900+8×10ⁿ⁺¹-80，
所以1987整除 10³ⁿ⁺³-1000+9×10²ⁿ⁺²-900+8×10ⁿ⁺¹-80+1987，
所以1987整除 10³ⁿ⁺³+9×10²ⁿ⁺²+8×10ⁿ⁺¹+7．
所以q能被1987整除．