(1+1/n)^n+1为什么单调减少
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解决时间 2021-03-04 02:08
- 提问者网友：动次大次蹦擦擦
- 2021-03-03 20:43
(1+1/n)^n+1为什么单调减少
最佳答案
- 五星知识达人网友：怙棘
- 2021-03-03 21:57
首先，提出一个比较显然的不等式(1+x)^(n+1)>1+(n+1)x,(x>0)这个用二项式展开就得到了。
然后记A(n)=(1+1/n)^(n+1)，A(n+1)=(1+1/(n+1))^(n+2),然后比一下得
A(n)/A(n+1)={1+1/(n^2+n)}^(n+1)/{1+1/(n+1)}
>{1+1/(1+n)^2}^(n+1)/{1+1/(n+1)}
接着对分子用我们开始的不等式得
A(n)/A(n+1)>1，也就是A(n)单调递减.
然后记A(n)=(1+1/n)^(n+1)，A(n+1)=(1+1/(n+1))^(n+2),然后比一下得
A(n)/A(n+1)={1+1/(n^2+n)}^(n+1)/{1+1/(n+1)}
>{1+1/(1+n)^2}^(n+1)/{1+1/(n+1)}
接着对分子用我们开始的不等式得
A(n)/A(n+1)>1，也就是A(n)单调递减.
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- 1楼网友：廢物販賣機
- 2021-03-03 22:07
设 y=（1+1/n)^(n+1)
所以 lny=(n+1)[ln(n+1)-ln] 两边求导
y'/y=ln(n+1)-ln+(n+1)[1/(n+1)-1/n]
y'=y*[ln[(n+1)/n]-1/n] ①
又设 g(x)=ln(1+x)-x
g'(x)=1/(1+x)-1 当x=0时有极值
g"(0)=-1<0 g（0）=0是极大值
所以ln[(n+1)/n]-1/n]=g（1/n）
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