若lim Un=A>0,用数列定义证明lim Un+1 / Un =1

若lim Un=A>0,用数列定义证明lim Un+1 / Un =1

∵lim Un=A>0
∴存在常数A，对于任意给定的正数ε （不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Un-A|＜ε 都成立，|U（n+1）-A|<ε 也都成立
∴A-ε＜Un＜A+ε，A-ε＜U（n+1）＜A+ε，
1/（A+ε）＜1/Un＜1/（A-ε）
设U（n+1）=Un+δ
A-ε＜Un+δ＜A+ε，
又-A-ε＜-Un＜-A+ε
-2ε＜δ＜2ε
|δ|＜2ε
∴|[U（n+1）/Un]-1|=|[U（n+1）-Un]/Un|
=|δ/Un|＜|δ|/（A-ε）＜2ε/（A-ε）
对于任意正数ε，要使2ε/（A-ε）＜ε，只要A-ε>2，取ε＜A-2，当n>N时，不等式|[U（n+1）/Un]-1|<ε
∴limU(n+1)/Un =1