高一必修一数学证明题

对于任意非零实数x，y，函数y=f（x）（x≠0）满足f（xy）=f（x）+f（y），求证：y=f（x）是偶函数

f(xy)=f(x)+f(y)

令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1)=f(1), ∴f(1)=0

令x=y=-1,则f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1)=f(1)=0, ∴f(-1)=0

对任意x≠0,令y=-1

∴f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),即f(-x)=f(x)

∴f(x)是偶函数

分析：证明y=f（x）是偶函数即是证明f（x）=f（-x）

为了利用f（xy）=f（x）+f（y），可以考虑令y= -1

证明：令x=y=1，则f（1*1）=f（1）+f（1），故 f（1）=0；

令x=y= -1，则f[(-1)*（-1）]=f(-1)+f(-1)=f(1)=0,故 f(-1)=0;

令y= -1，则 f（-1*x）=f(-1)+f(x),

∵ f(-1)=0，

∴ f（-x）= f（x）

故函数y=f（x）是偶函数