已知等边三角形ABC的边长为2a,求其内切圆的内接正方形DEFG的周长和面积

因为正方形面积等于对角线平方的一半，所以只需要求出内接圆直径即可。通过连接圆心到各切点可知，O是等边三角形ABC的三条角平分线的交点（即内心）。那么连结OB。
通过证明可以得到OB=OA且因为∠OBD=30°所以OB=2OD。所以OA=2OD。在Rt△ADB中，通过勾股定理得到AD=√3BD=2√3a（√是根号），所以OD=1/3AD=（2√3a）/3。所以内接圆的直径就是（4√3a）/3（OD是圆的半径）。所以正方形DEFG的面积就是[(4√3a)/3]²/2=8a²/3

我就不画图了，主要是讲一讲思路 首先根据勾股定理可以求出△abc的高为 a√3 那么△abc的面积为2a×a√3÷2=a²√3 为了直观lz自己可以做出△abc的3条高。 其中交点就是圆心。 圆心到3条边的距离都是圆的半径。 △abc的面积可以看做是分别由三个三角形组成的，这三个三角形的高都是圆的半径。 设圆的半径为r那么s△abc=3×（2a×r÷2）=3ar 前面已经求出s△abc=a√3 ∴ 3ar=a²√3 ∴ r=a√3/3 ∵ △abc的内切圆的内接正方形defg的对角线=圆的直径=(2a√3)/3 ∴ 根据勾股定理得出:正方形defg的边长=a√6 /3 ∴ 正方形defg的周长=4×(a√6 /3) =4a√6 /3 正方形defg的面积=(a√6 /3)²=2a²/3