如图，在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC、AC于点D、E,连接EB交OD于点F。 求证：OD⊥BE;

如图，在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC、AC于点D、E,连接EB交OD于点F。 求证：OD⊥BE;

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．
解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠EAB,．∠2=∠ABE)
∵AB=AC，
∴∠1= 1/2∠CAB．
∵∠CBF= 1/2∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF= √5/5，∠1=∠CBF，
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1= √5，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2 √5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2√ 5，
∴sin∠2= 2√5/5，cos∠2= √5/5，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3

(1)证明：因为ab=ac 所以三角形abc是等腰三角形 所以角abc=角c 因为以ab为直径的圆o交bc于d 所以角adb=角aeb=90度 角abc=角dec 所以角dec=角c 所以de=dc (2)解：因为ob=od 所以角abc=角odb 因为角abc=角c (已证） 所以角odb=角c 所以df平行ac 所以bd/cd=df/ce 因为角adb=90度（已证） 所以ad是等腰三角形abc的垂线，中线 所以d是bc的中点 所以bd=cd=1/2bc 所以df/ce=1/2 因为df=4 所以ce=8 因为ab=ac=13 ae=ac-ce=13-8=5 所以在直角三角形aeb中，角aeb=90度 ab^2=ae^2+be^2 所以be=根号(13^2-5^2)=12 所以be=12