设动直线x=m与函数f(x)=x三次方,g(x)=lnx的图像分别交于M、N则|MN|的最小值为答案

设动直线x=m与函数f(x)=x三次方,g(x)=lnx的图像分别交于M、N则|MN|的最小值为答案

画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离.设F（x）=f(x)-g(x)=x*x*x - lnx , 求导得：F'(x)=3*x*x - 1/x .这个容易证明F（x）在0-1区间和1-无穷大区间都是大于零的,令F'(x) =0得到x=1/3的三次方根,F'(x)在0-1/3的三次方根区间内小于0,在1/3的三次方根-无穷大区间大于0,即是函数F(x)先减后增,在1/3的三次方根处取得最小值,代入x=1/3的三次方根,得到 后面的答案1/3 -1/3*ln1/3 = 1/3*(1-ln1/3)=1/3*(1+ln3)======以下答案可供参考======供参考答案1:解:直线x=m与f(x)和g(x)的交点为(m,m^3)和(m,lnm)两交点间的距离为d=√[(m-m)^2+(m^3-lnm)^2]=√[(m^3-lnm)^2]=Im^3-lnmI因m>0，当0lnm。当1≤mlnm。当m≥e时，m^3≥e^3，lnm≥1，e^(m^3)>m，所以m^3>lnm。d=m^3-lnm，令d'=3m^2-1/m=0，得到m=1/3^(1/3),d=6m-1/m^2=6*1/3^(1/3)-3^(2/3)=3^(2/3)>0故当m=1/3^(1/3)时,d有最小值。d最小=1/3-ln[1/3^(1/3)]=1/3+ln3/3=(1+ln3)/3

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