f''(x)连续,f(π)=1,且∫_0^π▒〖[f(x)+f''(x) ] sin⁡〖x□(24&dx)=3〗 〗 求 f(0)=?

高数，定积分问题

答：
∫(0到π)[f(x)+f''(x)]sinxdx
=∫(0到π)f(x)sinxdx+∫(0到π)f''(x)sinxdx
两部分分别用分部积分
=-f(x)cosx|(0到π)-∫(0到π)-f'(x)cosxdx + f'(x)sinx|(0到π)-∫(0到π)f'(x)cosxdx
其中-∫(0到π)-f'(x)cosxdx = ∫(0到π)f'(x)cosxdx，与后面的-∫(0到π)f'(x)cosxdx相消。
=-f(x)cosx|(0到π)+f'(x)sinx|(0到π)
=f(π)+f(0)+0
=3
即：1+f(0)=3
所以f(0)=2。