试以双原子链为例 比较声学波和光学波的异同

试以双原子链为例 比较声学波和光学波的异同

先说声子，声子就是格波振动能量的量子化，即由坐标表象变换到状态表象（即波矢表象），声子是波色子，服从玻色爱因斯坦分布。
再说光学支声子和声学支声子：
以一维双原子链为例
---M---m---M---m---M---m---M---m---M---m---
如图所示就是一维双原子链
记恢复力常数为\beta,原子间距为a，且原子统一编号
容易写出运动方程(Latex语言，frac{A}{B}表示A/B,^表示上标，_表示下标)
m \frac{d^2x_{2n+1}}{dt^2}=\beta(x_{2n+2}+x_{2n}-x_{2n-1})
M \frac{d^2x_{2n+2}}{dt^2}=\beta(2_{2n+3}+x_{2n+1}-2x_{2n+1})
代入平面波解
x_{2n+1}=Ae^{i[q(2n+1)a-\omega t]}
x_{2n+1}=Be^{i[q(2n+1)a-\omega t]}
其中q为波矢，\omega为角频率
为了使A,B不同时为零产生平凡解，系数行列式为零，则得到色散关系：
\omega_{pm}^2 = \frac{\meta}{Mm}((m+M)\pm sqrt(m^2+M^2=2Mm\cos(2qa)))
其中\pm 就是加减号

上面的两个色散关系取正号的是光学支格波，角频率在10^13/s量级，处于在光谱红外区，能和光波发生耦合，就是所谓的声光效应，因而得名光学波。q趋近于零时增幅之比frac{A}{B}=-M/m，表明两种原子的震动方向相反，质心不动，代表晶体中原子的相对震动。它的能量子就是光学声子。
而取负号得到声学支格波，角频率比光学支低，可以用超声来激发，因此成为声学支。振幅之比frac{A}{B}=frac{2\beta\cos qa}{2\beta-m\omega^2}>0，也就是说两种原子的振动方向相同，代表原胞质心的震动。它的能量对应的量子就是声学声子。