高二数学2.2椭圆的性质

如图，A,A’,B分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB‖OP,FA’＝√10－√5，求椭圆的方程

解:设椭圆的方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1.则,A(a,0),A'(-a,0),B(0,b),F(-c,0),a^2=b^2+c^2

由椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F,可设P(-c,y)

则有:c^2/a^2+y^2/b^2=1,解得:y=b^2/a,∴P(-c,b^2/a)

∴AB的斜率k1=-b/a,OP的斜率k2=-b^2/(ac)

由AB∥OP得:k1=k2,即:-b/a=-b^2/(ac),∴b=c……（1）

又由FA'＝√10－√5得:a-c=√10－√5……（2）

又有：a^2=b^2+c^2……（3）

联立(1)(2)(3)解方程组得:a=√10,b=√5

∴椭圆的方程为:x^2/10+y^2/5=1.