用三重积分求曲面围成立体体积：z=根号下x^2+y^2和az=x^2+y^2
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解决时间 2021-03-26 14:28
- 提问者网友：辞取
- 2021-03-25 20:13
用三重积分求曲面围成立体体积：z=根号下x^2+y^2和az=x^2+y^2
最佳答案
- 五星知识达人网友：山有枢
- 2021-03-25 21:49
用三重积分求曲面围成立体体积：z=根号下x^2+y^2和az=x^2+y^2
使用柱坐标:
则z的积分限（(1/a)*r^2，r）
r的积分限（0，a）
θ的积分限（0，2π）
则体积为
V=∫(0，2π）dθ∫(0,a)rdr∫（(1/a)*r^2，r）dz
=2π∫(0,a)[r-(1/a)*r^2)]rdr
=2π∫(0,a)[r^2-(1/a)*r^3)]dr
=2π[(1/3)*r^3-(1/4a)*r^4)](0,a)
=2π[(1/3)*a^3-(1/4a)*a^4)]
=2π[(1/3)*a^3-(1/4)*a^3)]
=2π(1/12)*a^3)
=(π/6)*a^3
所求体积为(π/6)*a^3
使用柱坐标:
则z的积分限（(1/a)*r^2，r）
r的积分限（0，a）
θ的积分限（0，2π）
则体积为
V=∫(0，2π）dθ∫(0,a)rdr∫（(1/a)*r^2，r）dz
=2π∫(0,a)[r-(1/a)*r^2)]rdr
=2π∫(0,a)[r^2-(1/a)*r^3)]dr
=2π[(1/3)*r^3-(1/4a)*r^4)](0,a)
=2π[(1/3)*a^3-(1/4a)*a^4)]
=2π[(1/3)*a^3-(1/4)*a^3)]
=2π(1/12)*a^3)
=(π/6)*a^3
所求体积为(π/6)*a^3
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