设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.
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解决时间 2021-02-21 09:55
- 提问者网友：相思似海深
- 2021-02-20 09:42
设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.
最佳答案
- 五星知识达人网友：空山清雨
- 2021-02-20 10:08
极限为0.5*（1+根号5）.证明：设f（x）=1+(Xn-1/（1+Xn-1）),对f（x）求导,得导数为正,f（x）单调递增,又f（x）=1+(Xn-1/（1+Xn-1）)小于2,有上界.利用单调有界定理知其极限存在.对Xn=1+(Xn-1/（1+Xn-1）)俩边取极限,设xn的极限为a（n趋向无穷大）可得a=1+a/（1+a) 解这个方程,结果取正就可以了.
全部回答
- 1楼网友：人间朝暮
- 2021-02-20 10:18
xn显然>0
由均值不等式
x(n+1)>=1
x(n+1)-xn=1/2(1/xn-xn)<=0
xn递减且有下界，收敛
设limxn=a>0
由xn+1=1/2(xn+1/xn)
a=1/2(a+1/a)
=>a=1
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